Sur une nouvelle fonction entière.

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où X est réel et > 1, a > 0 et p un entier positif choisi suffisammentgrand. En substituant pour la fonction L k (z) son développement

L k (z)=2¡S w (n)e

n—i

k

-n z

il faut montrer avant tout que

lim B„ — lim ——

1 '¿ni

q— oo q—cc

1

Je

n y1

a— i X.

e \

' V+1+ lê «=S+1

dz — 0,

en mettant, pour abréger

1+4" ±rr*(2v + l)

y = (2 ti) k e 2k

y = 0... T -l.

Considérons, d'une manière générale, la somme £ S (n)Ç n , où 0 < £ < 1.

n=q+ 1

Pour n > 1 on a

il i

(n-1) k

et, en posant T n = S Uc) (v) ,

i_ J. il.

2 (n)i nle = - T J 1 " + I 1

n=ï+l n=î+l

Or, on trouve sans peine

T n — n k log n-\- 0 [n k ) < n' ,

(n>g)

pourvu que ß soit > , et par là

ÍS«(n)^<(l-f) jjn'f"*

n=q + 1

n=q

D'autre part 5 )

6 ) On a en effet pour t > 0, 1 >¿> 0: ( 1 -f t)'* < 1 + A t, (1 +t) 1 ~ > ~ < 1 + ( 1 — A) t ,\l-il , i, /1 , ■ * t

1 + f>(l+í) 1 ~' l + -U > (1 + í) >1

(1 + 0

i-;. •

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