Sur une nouvelle fonction entière.

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Rq+l i <

: (cose) î ' +1+ "k

v+i + Ta «

i+— 1 l

(äll) — (cos ö ) 1+ "* » T

.^, T <S" d (n)e ka

n=((+a

< e ax C(k 1 a)q 2k+ ^~ 3 j* <ó

= 0 ï«iî(' + -f- s

1+i J,« (2*) /c k 1+ T

"3" j 8 (cos 0) '*

a dOcos- 0

k a '

(cosöf +& 2fc 2 d0

En supposant < ß <Y(jc~-fïj' ^ su ^fit ^e P ren di'e p^(i-)-l)(2i— 1),

pour que l'exposant de -y soit positif. Sous cette hypothèse on aura donc

R q —* 0 pour q—-o o, ce qui revient à dire que la formule (B), obtenue

par intégration terme à terme, est exacte. Or, la série indéfinie figurant

en (B) est absolument et uniformément convergente pour p^> 2. En effet,

™S w (n) 1

la série V converge absolument pour R (s ) > -r- et nous avons

n= 1

•>k

nx =

0

1

Tep+1|,h(lc + iy

il suffit donc que p soit > 1. En vertu de l'équation (2.) la différentiationne produit dans la formule (B) autre changement que de remplacer p parp — 1. L'égalité (B) reste donc valable pour p^L 2.

Le cas où p = 1 semble difficile. On peut montrer qu'en rem-plaçant S u '\n) par sa valeur moyenne on obtient une série absolu-

n'-T

ment convergente, mais on ne parvient pas à une démonstration de con-

n i 1

vergence en employant la formule S ik) (v) — n k \ogn 0 (n k ) et la

V— 1

sommation partielle.

(Eingegangen am 9. 10. 1925.)