Über die Entwicklung einer analytischen Funktionnach Polynomen.

Von

J. L. Walsh 1 ) in München.

Viele Resultate über die Entwicklung einer analytischen Funktionnach Polynomen sind wohlbekannt 2 ), darunter das Theorem von Runge:

Es sei die Funktion f (z) eine analytische Funktion von z in einemeinfach zusammenhängenden Bereiche R der z- Ebene. Dann läßt sichf(z) in eine Reihe nach Polynomen von z entwickeln, welche in jedem ganzinnerhalb R gelegenen abgeschlossenen Bereiche gleichmäßig konvergiert.

Der Zweck dieses Artikels ist, ein Resultat anzugeben, das in bezugauf bestimmte Funktionen noch allgemeiner ist, als das Theorem vonRunge, und das außerdem erlaubt, das Theorem von Runge sehr leichtzu beweisen:

Satz. Es sei f(z) eine analytische Funktion von z im Inneren einerJordanschen Kurve G, und es sei f(z) stetig im abgeschlossenen Bereiche,welcher aus der Kurve G und ihrem Inneren besteht. Dann läßt sich f(z)im ganzen abgeschlossenen Bereiche in eine Reihe nach Polynomen vonz entwickeln; diese Reihe konvergiert gleichmäßig in demselben abge-schlossenen Bereiche.

Dieser Satz kann, wenn die Kurve analytisch ist, leicht durch denGebrauch konformer Abbildung bewiesen werden 3 ). Auch im allgemeinerenFalle werden die gewünschten Resultate durch einen Courantschen Satz 4 )

1 ) Fellow, International Education Board.

•) Siehe z. B. Montel, „Leçons sur les Séries à une Variable Complexe" (Paris1910), wo die Literatur zitiert ist.

3 ) Walsh, „On the Expansion of Analytic Functions in terms of Polynomials",Trans. Amer. Math. Soc. 26 (1924), S. 155 — 170, Theorem III.

4 ) „Über eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung",Göttinger Nachrichten, Math.-phys. Klasse, 1914, S. 101 — 109; 1922, S. 69 — 70.