J. L. Walsh. Entwicklung nach Polynomen.

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über konforme Abbildung erreicht. Prof. Carathéodory hat mich angeregt,die Möglichkeit einer Anwendung dieses Courantschen Satzes auf das vor-liegende Problem nachzuprüfen.

Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß der Punkt z = 0 imInneren von C liegt; diese Annahme schränkt die Allgemeinheit nicht ein.Wir betrachten eine Folge {C n } von ineinander eingeschachtelten Jordan-schen Kurven in der z- Ebene, die im Äußern von G liegen, und so, daßdie Bedingungen des Satzes von Courant erfüllt sind 5 ). Wir bilden dasInnere von C, C n , resp. auf das Innere des Einheitskreises r in derw-Ebene ab, so daß die Punkte z = 0 und u = 0, und in diesen Punktenauch die positiven Richtungen der Achsen des Reellen einander entsprechen.Wir bezeichnen mit u = <p(z), <p n {z ) die Funktionen, welche diese Ab-bildungen liefern, und mit z — yj(u), y> n {u) resp. die Umkehrfunktionen.Durch die Abbildung u = cp n (z ) wird die Kurve C in die im Innerenvon r liegende Jordansche Kurve y n transformiert.

Die Funktionen f[y>(u)\ und f{y [(/>„(z)]} sind im Inneren von /'und C resp. analytisch und in den entsprechenden abgeschlossenen Be-reichen stetig. Um unseren Satz zu beweisen, genügt es zu zeigen, daßes zu jedem e > 0 ein n gibt, so daß für irgendeinen Punkt z auf oderim Inneren von G die Ungleichung

(1) \f{y J [ ( Pn ( Z )]}-f ( Z )\<i

gilt. Denn nach dem Rungeschen Theorem können wir die Funktionf{v [Vn ( z )]} au ^ C un< ^ ™ I nneren von C beliebig genau durch ein Poly-nom p(z) annähern:

I f{v>[9»(*)]} ~P( Z )\<^'

Hieraus erfolgt unmittelbar die Schlußfolgerung unseres Satzes:

\f(s) — p(z) |<«

für alle betreffenden Punkte, da gleichmäßige Entwicklung und Annäherungmit beliebiger Genauigkeit vollständig äquivalent sind.

Wir beweisen die Ungleichung (1) durch die Transformation z = W n (u)auf die u- Ebene, d. h. wir wollen zeigen, daß für jedes u auf oder imInneren von y n die Ungleichung

(2) ir[v(«)l—/"[>„(«)] I <!

5 ) Eine solche Folge läßt sich mit Hilfe eines Quadratnetzes im Äußern von Ckonstruieren. Vgl. Osgood, Funktionentheorie (Leipzig 1912), S. 156.