432 J. L. Walsh.

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befriedigt ist. Es ist hinreichend, die Ungleichung (2) für alle auf y nliegenden Punkte u zu beweisen. Wenn der Punkt u auf y n liegt, so liegenbeide Punkte z = ip (u) und z = y n {u) im abgeschlossenen Bereich, welcheraus der Kurve C und ihrem Inneren besteht; in diesem abgeschlossenenBereiche ist f[z) stetig und damit gleichmäßig stetig. Das heißt, die Un-gleichung (2) gilt gleichmäßig für alle betreffenden Werte von u, wennwir nur n so auswählen können, daß | y(u) — ip n (u) j beliebig klein ist,gleichmäßig für alle auf y n liegenden Punkte u. Diese letzte Bedingungläßt sich erfüllen infolge der in r gleichmäßigen Konvergenz der Folge {y n },welche aus dem Courantschen Satz erfolgt"). Unser Satz ist hiermit be-wiesen.

Wenn jeder der Bereiche C 1; C„, ..., C m durch eine Jordansche Kurvebegrenzt ist und wenn der kürzeste Abstand der abgeschlossenen BereicheC { , Cj (i, j — 1, 2, ..., m, i 4= j) voneinander nicht null ist, so ist jedeinnerhalb C 1 + C 2 + ... + G m analytische, in der entsprechenden ab-geschlossenen Punktmenge stetige Funktion in eine gleichmäßig konver-gierende Reihe von Polynomen entwickelbar. Wir führen den Beweis nichtaus, weil derselbe wegen einer ähnlichen Erörterung von Montel ") sehr ein-leuchtend ist.

Die Frage, ob eine innerhalb eines Bereiches analytische und im ent-sprechenden abgeschlossenen Bereiche stetige Funktion in eine im abge-schlossenen Bereiche gleichmäßig konvergente Reihe von Polynomen ent-wickelbar ist, gilt in der Enzyklopädie als ungelöst 8 ). In dieser Beziehungmachen wir vier Bemerkungen, deren Tragweite in Wirklichkeit nochgrößer ist, als wir hier zu erörtern brauchen.

1. Unser Satz erstreckt sich nicht bis zum allgemeinsten einfach zu-sammenhängenden Bereiche der z-Ebene. Zum Beispiel betrachten wir alsBereich einen außerhalb eines Kreises K liegenden Streifen A, der aneinem Ende geschlossen ist und sich spiralförmig gegen Ii unendlich oft

6 ) A.a.O. S. 108, Satz IV. Unser Satz kann auch durch den Satz lila vonCourant bewiesen werden.

') A. a. 0. Kap. IV. Die Methode stammt von Runge her.

8 ) Hilb und Szász, Bd. ir 3 , Heft 8, S. 1276 (Sept. 1924). Siehe auch Montel,a.a.O. S. 66 — 71, wo die Frage im Zusammenhang mit der Annäherungemethode vonTschebyscheff betrachtet ist. Wir haben also bewiesen, daß für eine im Innern einerJordanschen Kurve analytische und im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetigeFunktion die Methode von Tschebyscheff eine gleichmäßig konvergente Folge vonPolynomen liefert, deren Grenze die ursprüngliche Funktion ist.

Hilb und Szász bemerken auch, daß Konvexität des Bereiches genügt; ich habedas unabhängig davon auch bemerkt (a.a.O. S. 168, Fußnote), April 1924.