Entwicklung nach Polynomen.

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windet und sich beliebig nahe dem Kreis nähert. Die Funktion

wo z = a der Mittelpunkt von K ist, ist überall im abgeschlossenen Be-reiche A analytisch, doch nicht in eine im abgeschlossenen Bereichegleichmäßig konvergente Reihe von Polynomen entwickelbar. Denn dieSumme F(z) einer solchen Reihe ist innerhalb K analytisch und in derabgeschlossenen Kreisfläche stetig. Auf der Kreislinie kann aber nichtF{z) = f(z ) sein, wegen der Werte der Integrale:

¡F(z)dz = 0, ff (z)dz = 2ni.k k

2. Gegeben ein einfach zusammenhängender Bereich G. Es ist nichtwahr, daß die Möglichkeit, eine beliebige im Inneren von C analytische,im abgeschlossenen Bereiche stetige Funktion in eine im abgeschlossenenBereiche gleichmäßig konvergente Reihe von Polynomen zu entwickeln,ergibt, daß C durch eine Jordansche Kurve begrenzt ist. Zum Beispiel,betrachten wir den Bereich C in der z(= r e i0 )-Ebene:

G : — n < 0 < n.

Jede Funktion f{z), die im Inneren von C analytisch und im entsprechen-den abgeschlossenen Bereiche stetig ist, ist auch im ganzen Inneren desBereiches 1 > r 0 analytisch 9 ), und deshalb läßt sich dieselbe auf diebeschriebene Weise entwickeln. Trotzdem ist der Bereich G nicht durcheine Jordansche Kurve begrenzt.

Ein Bereich, der die besagte Eigenschaft hat, braucht nicht einfachzusammenhängend zu sein; das Beispiel

C': l>r>0ist dem soeben angegebenen Beispiel ähnlich.

3. Wir nennen einen Randpunkt Q eines Bereiches hebbar, wenn eineUmgebung von Q existiert, in der kein Punkt liegt, der sich nicht imabgeschlossenen Bereiche befindet. Wenn wir hebbare Randpunkte aus-schließen, so gilt der folgende Satz, dessen Beweis wir skizzieren:

Es sei ein zusammenhängender Bereich C in der z-Ebene gegeben.Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jede im Bereiche Gmit Einschluß des Randes reguläre analytische Funktion in eine im ab-geschlossenen Bereiche G gleichmäßig konvergente Reihe von Polynomenentwickelbar sei, ist, daß G entiveder mit der ganzen Ebene mit Einschlußdes Punktes z = oo zusammenfalle oder mit einem endlichen einfach zu-

9 ) Siehe z. B. Osgood, a. a. 0. S. 315.