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J. L. Walsh.

sammenhängenden Bereich, dessen Rand die Ebene in genau zwei zu-sammenhängende Bereiche zerteile l0 ).

Wenn der Bereich die ganze Ebene ist, so muß die betreffende Funk-tion eine Konstante sein, die natürlich entwickelbar ist. Sonst muß derBereich C beschränkt sein, weil jedes nicht konstante Polynom im Punkte ooden Wert oo hat und eine Reihe von solchen Polynomen in der Umgebungdes Punktes oo nicht gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergierenkann. Von nun an betrachten wir nur endliche Bereiche. Wir nennen Cden C entsprechenden abgeschlossenen Bereich.

Die besagte Bedingung ist notwendig. Sonst existiert ein in G nichtenthaltener Punkt P: z — z y , der sich nicht mit dem Punkt oo durch einenStreckenzug, welcher keinen Punkt von C enthält, verbinden läßt. Sämt-liche Punkte, die sich mit P durch einen Streckenzug verbinden lassen,der keinen Punkt von C enthält, bilden einen einfach zusammenhängendenBereich B, dessen Rand aus lauter Punkten von C besteht. Die Funktion

f(z) = - 1 —

v ' z — z t

ist in jedem Punkt von C regulär; wäre sie in C entwickelbar, so wäredie Summe S (z) der Reihe im Inneren von B regulär analytisch, wasnach Voraussetzung ausgeschlossen ist.

Wir benutzen hier nämlich den folgenden Satz: Stimmen die Wertevon zwei in einem einfach zusammenhängenden Bereiche B definiertenmonogenen analytischen Funktionen f¡ (2) und f „(z) auf dem Rande von Büberein, und sind die Funktionen in der in B liegenden Umgebung desRandes von B regulär, dann sind die Funktionen identisch. Wennnämlich die Funktion z — tf(u ) den Einheitskreis der w-Ebene auf denBereich B abbildet, so ist die Funktion

\u\ = l,

\u\ < 1,

I u\ > 1,

für [ u I = 1 regulär und Null, und daher identisch Null.

10 ) Diese Bedingung lautet auch so, daß C entweder mit der ganzen Ebene zu-sammenfalle oder ein endlicher Bereich sei, dessen Komplementärmenge (d. h. Komple-mentärmenge des abgeschlossenen Bereiches, in bezug auf die ganze Ebene) zu-sammenhänge.

Diese Bereiche finden sich in einer Klasse von Bereichen, deren schöne Eigen-schaften Prof. Carathéodory studiert hat, Math. Annalen 72 (1912), S. 107 — 144,Kap. III.

F(u) =

0,

fi[v( u )\ — /à [>(«)]>

ikSl-ftki)].