Entwicklung nach Polynomen.

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Die Bedingung ist hinreichend. Denn nach der Regularitäfc von f(z)im abgeschlossenen Bereiche gibt es eine von z 0 unabhängige positiveGröße e, so daß f(z) im Kreise \z — z 0 |<e regulär ist, wenn nur z 0in C liegt. Es existiert also eine Jordansche Kurve J, welche C enthältund deren Inneres aus lauter Regulärpunkten von f(z ) besteht; das Re-sultat folgt hiernach aus dem Theorem von Runge.

Wir beweisen die Existenz der Kurve J genauer. Es gibt in der Tatein e endliche Anzahl von Kreisen K 1 , K 2 , ..., K N , jeder vom Halbmesser eund mit dem Mittelpunkt auf dem Rande von G, die den Rand von G über-decken. Die Jordansche Kurve, welche aus den zu äußerst liegenden Bogendieser Kreise besteht, enthält etwa M einfach zusammenhängende Bereicheßj, B. 2 ,..., B m , deren Punkte weder zu G noch zu K l , K„,..., K N gehören.Ein beliebiger Punkt A l von B l läßt sich mit dem Punkt oo durch einenStreckenzug verbinden, welcher keinen Punkt von G enthält. Wir könnendiesen Streckenzug in einen Bereich einschließen, der gleichfalls keinenPunkt von G enthält und der durch einen anderen Streckenzug S, be-grenzt ist. Die oben gebrauchte Jordansche Kurve J besteht aus Bögenvon K 1 , K 2 , .. ., Kx und aus Strecken von S 1 , S 2 , ..., S. m, die in denKreisen K 1 K N liegen.

4. Es sei die Funktion f(z) im Inneren einer Jordanschen Kurve Canalytisch und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche C stetig. Einenotwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jede im Innerenvon C analytische und im abgeschlossenen Bereiche C stetige Funktion F(z)in eine im abgeschlossenen Bereiche G gleichmäßig konvergierende Reihevon Polynomen von f(z) entwickelbar sei:

besteht darin, daß f(z) im abgeschlossenen Bereiche schlicht sei.

Eine Funktion f{z) heißt im abgeschlossenen Bereiche G schlicht,wenn die Gleichung

wo z 1 =t= z 2 ist und z 1 und z„ in G sind. Die Funktion F(z) = z ist dannin G nicht entwickelbar, weil die Reihen (3) für z = z 1 und für z = z„identisch sind, jedoch FÇz^ =\= F(z 2 ) ist.

(3)

F(z) = j¡ ¿ c in [f(z)Y\

i=0 n=0