Über die Entwicklung einer Funktion einer komplexenVeränderlichen nach Polynomen.

Von

J. L. Walsh in München 1 ).

In dem vorliegenden Artikel soll in der Hauptsache ein Beweis desfolgenden Satzes entwickelt werden:

Satz I. Ist die komplexe Funktion F(z) der komplexen Veränder-lichen z = X -f i y stetig auf einer Jordanschen Kurve C, die den Punkt2 = 0 einschließt, so läßt sich F (2) in eine auf G gleichmäßig konver-gierende Reihe von Polynomen in z und 1 jz entivickeln.

Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des klassischen Satzes vonWeierstraß, daß jede stetige periodische Funktion von 0 (0) von Periode 2nsich gleichmäßig entwickeln läßt in eine Reihe von trigonometrischenPolynomen:

^(0) = J? 2J( a in cos710 + ¿¿„sin nO).

i=0 n=0

Satz I ist mit dem Satze von Weierstraß identisch, wenn die Kurve Gder Einheitskreis ist, denn die Relationen

Q z n -z~ n a Z n + Z~ n

sin na = —s-.—, cos nu =— ^75 :

2 1 2

z" = cos ji0 + ¿ sin n0, z~ n = cos nd — i sinn 6

gelten dann auf G. Jedes trigonometrische Polynom ist ein Polynomvon z und 1 ¡z, und umgekehrt.

Satz I findet sich schon bewiesen für den Fall, daß die Kurve G eineanalytische Kurve ist 3 ).

1 ) National Research Fellow.

2 ) Walsh, Transactions of the American Mathematical Society 26 (1924), S. 168,

Fußnote.