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J. L. Walsh.

Satz I ist dem folgenden neulich bewiesenen Satz 3 ) ähnlich, welchenwir im Beweis gebrauchen:

Satz II. Ist die Funktion F(z) im Inneren einer JordanschenKurve G analytisch und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig,so läßt sich F(z) in eine im abgeschlossenen Bereiche gleichmäßig kon-vergierende Reihe von Polynomen in z entwickeln.

Satz II wird durch einen Satz von Courant über konforme Abbil-dung 4 ) gewonnen, dessen Benutzung mir Prof. Carathéodory geraten hat.Zum Beweise von Satz I benutzen wir den folgenden Hilfssatz:

Satz III. Es sei B ein ringförmiger Bereich, der durch zweiJordansche Kurven G 1 und G„, die keinen gemeinsamen Punkt besitzen,begrenzt wird, und es sei die Funktion F(z) im Inneren von B analytisch,im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig. Wenn der Nullpunktim Inneren von C 1 und C\ 2 liegt, so läßt sich F(z) gleichmäßig im ab-geschlossenen Bereiche B nach Polynomen von z und 1/z entwickeln. WennC 2 im Inneren von C\ liegt, so ist diese Entwicklung die Summe eineraxif und innerhalb C 1 gleichmäßig konvergierenden Reihe von Polynomenvon z und einer auf und außerhalb C 2 gleichmäßig konvergierenden Reihevon Polynomen von 1 /z.

Es seien K x und K 2 zwei im Bereiche B liegende analytische Jordan-sche Kurven, so daß jede die Kurve C 2 einschließt, und es liege K„ imInneren von K 1 . Die Funktionen

(V J.M-Ä/t .

K, K a

wo die Integrale im positiven Sinne in bezug auf den durch K x und K 2begrenzten Bereich erstreckt sind, verhalten sich im Inneren von K x bzw.im Äußeren von K , analytisch. Wenn z zwischen K x und K„ liegt, sogilt die Gleichung

(2) F(z)^F 1 (z) + F,(z).

Die Integrale (1) sind von der besonderen Wahl der Kurven K 1 und K„

3 ) Walsh, Mathematische Annalen 96 (1926), S. 430 — 436.

(Bemerkung bei der Korrektur.) Ieh habe erst neulich (am 23. Juli 1926)durch eine freundliche mündliche Mitteilung von Herrn Marcel Riesz erfahren, daßdieser Satz durch die von Carleman benutzten Methoden sich beweisen läßt.Carleman hat einen ähnlichen aber weniger allgemeinen Satz bewiesen. Vgl. „Uberdie Approximation analytischer Funktionen", Arkiv för Matematik, Astronomi ochFysik 17 (1922-23).

Herr Riesz hat diese Tatsache vor drei Jahren bemerkt, ohne sie zu publizieren.

4 ) Göttinger Nachrichten 1914, S. 101 — 109, Satz IV.