Entwicklung nach Polynomen.

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unabhängig; wir lassen diese Kurven die Kurven G 1 bzw. G„ annähern.Die Funktion F ± (z) ist im ganzen Inneren von K 1 regulär-ana-lytisch. Wenn z zwischen K 1 und K„ liegt, aber sich einem Punkt von G,nähert, so nähern sich F(z) und F 1 (z) — und deshalb auch F. 2 (z) —stetigen Grenzwerten. Die Funktion F 1 (z) beträgt sich ebenso, wenn zgegen einen Punkt von C 1 geht. D. h. die Funktionen F 1 (z) und F a (z)sind im Inneren von C 1 analytisch, im entsprechenden abgeschlossenen Be-reiche stetig, bzw. im Äußeren von C. 2 (inklusive des Punktes co) analy-tisch, im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig, wenn passendeDefinitionen dieser Funktionen auf den Kurven gegeben werden. DieGleichung (2) gilt für alle im abgeschlossenen Bereiche B liegenden Punkte.

Die Funktion F 1 ( z) läßt sich nach Satz II auf und im Inneren von C 1nach Polynomen von z gleichmäßig entwickeln. Man sieht durch die Trans-formation z = I /2', daß die Funktion F s (z) sich auf und im Äußeren von G,nach Polynomen von z' gleichmäßig entwickeln läßt. Die gliedweise Summedieser beiden Entwicklungen befriedigt die Behauptungen unseres Satzes.

Jetzt können wir den Satz I leicht beweisen: es sei u — f(z ) eineFunktion, die das Innere von G auf das Innere des Einheitskreises F inder «-Ebene abbildet, so daß f(0) = 0 ist, und es sei z = cp ( m ) die Um-kehrfunktion von f(z). Die Funktion F[cp{u)] ist auf F definiert undstetig und läßt sich dort nach Polynomen von u und 1 ¡u nach demWeierstraß sehen Satze gleichmäßig entwickeln. D. h. wir haben auf Gdie gleichmäßige Entwicklung

(3) F { z )=2 ¿ c in [f(z)]\

i=0 n=—i

Die Funktion f[z ) läßt sich nach Satz II auf G durch Polynome von zgleichmäßig approximieren. Die Funktion 1 //"(z) ist im Inneren von Cüberall regulär-analytisch, außer im einzelnen Punkte z — 0. Nach Satz IIIläßt sich 1 /f(z) auf G durch Polynome von z und 1/z gleichmäßig ap-proximieren 5 ). Der Satz I folgt nun mit Hilfe der Gleichung (3).

6 ) Ich verdanke Prof. Hartogs die Idee der folgenden Bemerkung.

Satz III ist an und für sich vielleicht nicht ohne Interesse. Man kann aberbeweisen, daß die Punktion 1 ¡f{z) sich auf C nach Polynomen von z und 1/z gleich-mäßig approximieren läßt; daher folgt Satz I ohne Gebrauch von Satz III. DieFunktion f(z ) hat nämlich eine einfache Nullstelle in z = 0, und die Funktion1 lf(z) dort einen einfachen Pol:

m = ^ +fAz) '

wo f t (z) im Inneren von C analytisch ist und im entsprechenden abgeschlossenenBereich stetig. Die Gleichung gilt im abgeschlossenen Bereich. In diesem abgeschlos-senen Bereich läßt sich f 1 (2) durch Polynome von z gleichmäßig approximioren,also 1 lf(z) durch Polynome von z und 1 ¡z.