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J. L. Walsh.

Einige weitere Tatsachen sind noch bemerkenswert.

I o . Satz I kann auch folgendermaßen ausgesprochen werden:

1st die Funktion F(z) auf der Jordanschen Kurve G stetig, so läßtsich F(z) in eine auf C gleichmäßig konvergierende Reihe von rationalenFunktionen von z entwickeln.

Die Entwicklung, die im Satze I betrachtet wird, ist schon eine Ent-wicklung nach rationalen Funktionen, und behält diese Eigenschaft nacheiner ganzen oder gebrochenen linearen Transformation der Ebene. Wirbrauchen also, um die Äquivalenz dieser Sätze nachzuweisen, nur das Um-gekehrte zu betrachten.

Wenn eine Funktion F(z) nach rationalen Funktionen entwickelbarist, so haben höchstens endlichviele dieser Funktionen Pole auf C. Jederationale Funktion, die keinen Pol auf G hat, läßt sich auf G nachSatz III durch Polynome in z und 1/z gleichmäßig approximieren, wenndie Lage der Kurve G die verlangte ist. Die Funktion F(z) läßt sichalso auf G nach Polynomen von z und 1/z entwickeln.

Die jetzige Formulierung des Satzes I ist aber auch gültig, wenn dieKurve G den Nullpunkt nicht einschließt, und auch wenn die Kurve Gsich ins Unendliche erstreckt.

2°. 1st die Funktion f(z) auf einer Jordanschen Kurve G stetig, soist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine beliebigeauf G stetige Funktion F(z) in eine auf G gleichmäßig konvergierendeReihe von Polynomen von f(z) und 1 ¡f(z) entwickelbar sei, daß dieTransformation u = f(z) die Kurve C ein-eindeutig auf eine den Punktu — 0 einschließende Jordansche Kurve in der u-Ebene abbilde.

Die Bedingung ist notwendig. Zuerst bilden die Punkte u = f(z)eine Jordansche Kurve K, weil die Abbildung u=f[z) ein-eindeutig ist.Die Transformation u — f(z) ist nämlich ebenso wie f(z) selbst eindeutig.Die Umkehrfunktion z — cp(u ) ist gleichfalls eindeutig. In der Tat, wäre

f( z i) = Zi + z 2 , z i> z 2 auf G,

so wäre die Funktion I (z) = z nicht entwickelbar, denn die Reihen fürz = z 1 und z — z„ wären dieselben, mit F(z 1 ) 4= F(z„).

Liegt zweitens der Punkt u = 0 auf K, so ist llf(z) in einem Punktunendlich und es können nur endlich viele Glieder der Entwicklung vonF(z) negative Potenzen von /'(z) enthalten; also ist jede Funktion F(z)nur nach Polynomen von f{z) gleichmäßig entwickelbar. D. h. jede auf Kstetige Funktion F[<p(u)\ wäre nach Polynomen von u gleichmäßig ent-wickelbar. Liegt anderseits m = 0 außerhalb K, so istl/wauf und inner-halb K regulär-analytisch und dort nach Polynomen von u gleichmäßig ent-