Entwicklung nach Polynomen.

441

wickelbar; infolgedessen ist ebenfalls jede auf K stetige Funktion F [cp (w)]nach Polynomen von u gleichmäßig entwickelbar. Hier haben wir einenWiderspruch, weil die Funktion F[cp(u)] = —-—-, wo u 0 innerhalb K liegt,

U Kiq

stetig ist und doch nicht nach Polynomen von u gleichmäßig entwickelbar 0 ).

Die Bedingung ist hinreichend. Die beliebige stetige FunktionF (z) = F [cp (u)] ist auf K nach Polynomen von u und 1 \u gleichmäßigentwickelbar, d. h. nach Polynomen von f{z) und 1 lf(z).

Es ist nach dieser Erörterung klar, daß es keine auf C stetige Funk-tion f(z) gibt, derartig, daß jede auf C stetige Funktion F(z) nach Poly-nomen nur von f{z) entwickelbar ist.

Für die Gültigkeit der Bemerkung 2° braucht nicht die Kurve Gendlich zu sein.

3°. Es sei B ein Bereich, der durch zwei Jordansche Kurven C 1 undC„ begrenzt ist, und möge C\ außerhalb der Kurve C 2 liegen. Es exi-stiert dann keine Funktion f(z), die im Inneren von B analytisch, imentsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig ist, so daß eine beliebige,im Inneren von B analytische, im entsprechenden abgeschlossenen Bereichestetige Funktion F(z) nach Polynomen von f{z) gleichmäßig entwickel-bar ist. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jedesolche Funktion F(z) nach Polynomen von f(z ) und l/f(z) gleichmäßigentwickelbar sei, ist, daß durch die Transformation u — f(z) der Bereich Beinem Bereiche B' entspreche, welcher durch zwei Jordansche Kurven ohnegemeinsamen Punkt begrenzt ist, und daß jede dieser Kurven den Null-punkt einschließe.

6 ) Eine solche Entwicklung würde eine im ganzen Inneren von C analytischeFunktion darstellen, was wegen des folgenden Satzes unmöglich ist:

Stimmen die Werte von zwei in einem einfach zusammenhängenden Bereiche Bdefinierten monogenen analytischen Funktionen auf dem Bande von B überein, undsind die Funktionen in der in B liegenden Umgebung des Randes von B regulär,in der entsprechenden abgeschlossenen Umgebung stetig, dann sind die Funktionenidentisch.

Ein Beweis dieses Satzes findet sich skizziert bei Walsh, Math. Annalen loc. cit.Es ist auch nicht notwendig für die Gültigkeit dieses Satzes bzw. seines dort ge-gebenen Beweises, daß die Werte der fraglichen Funktionen auf dem ganzen Randevon B übereinstimmen.

Wir haben in der Tat durch die dort gegebene Skizze den folgenden Satz:

Es sei die Funktion F (z) auf dem Rande eines beschränkten Bereiches B regulär-analytisch. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß F (z) auf demRande von B (bzw. im ganzen abgeschlossenen Bereich B) nach Polynomen von zgleichmäßig entwickelbar sei, besteht darin, daß F(z) in jedem Punkt regulär-analy-tisch sei, der sich nicht mit dem Punkt œ durch einen Streckenzug, der keinen Punktdes Bandes von B enthält, verbinden läßt.

Dieser Satz gilt auch, wenn der Bereich B mehrfach zusammenhängend ist.

Mathematische Annalen. 96. 29