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J. L. Walsh.

Der Beweis ist einfach und wird dem Leser überlassen.4°. Man kann ein weitergehendes Resultat als den Satz I herleiten,wenn die Funktion F{z ) auf C eine Bedingung von Lipschitz befriedigtund wenn die Kurve G im Sinne von Osgood 7 ) regulär ist.

Die Funktion F(z ) läßt sich nämlich als die Summe

(4) F{z) = F 1 (z) + F^z)

schreiben, wo F 1 (z) im Inneren von G analytisch ist und im entsprechen-den abgeschlossenen Bereich stetig, und wo F„ (z) im Äußeren von G ana-lytisch ist und im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetig 8 ).

Entwickelt man die Funktionen F 1 (z) und F 3 ( z ), so bekommt mannach (4) die Entwicklung

(5) F[z) = 2 Za in z n + jt Sa in z"

¿ = 1 7i=0 i=l 71=0

wo die Reihen auf und im Inneren von G, bzw. auf und im Äußerenvon C gleichmäßig konvergieren. Die Entwicklung (5) ist natürlich nichtmöglich für alle auf G bloß stetigen Funktionen, wenn auch G regulär ist.

5°. Es sei der Bereich B durch die Jordanschen Kurven G 0 , G 1} ..., C nbegrenzt, wo B innerhalb C 0 und außerhalb G 1 ,G i ,...,G n liegt, undwo die Kurve C¿ keinen gemeinsamen Punkt mit der KurveCj (»,7 = 0,1,..., n, i 4= j) hat. Es seien z 1 , z 9 , ..., z n beliebige Punkteinnerhalb C 1 ,C^,...,G n bzw. Ist die Funktion F(z) innerhalb B ana-lytisch und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig, so ist siein demselben abgeschlossenen Bereiche die Summe von (n -j- 1) Funktionen:

F{z) = F 0 (s) + F, (z) + F t (z) + ... + F n (z),

wo F 0 (z) im Inneren von G 0 regulär und im entsprechenden abgeschlossenenBereiche stetig ist und wo F k (z), h = 1, 2,..., n, im Äußeren von G kregulär und im entsprechenden abgeschlossenen Bereiche stetig ist. DieFunktion F{z) ist also im abgeschlossenen Bereiche B als die Summevon (n + 1) Reihen entwickelbar :

F{z) = Z jja imZ ™ + í Z< m {z-z i y m

t=0 m=0 i=0 m=0

+ Ê ¿a¡' m (z-z,y m + ... + 2 2alZ(z-z n )- m .

<=0 m=0 i=0 m=0

Jede dieser Reihen konvergiert im abgeschlossenen Bereiche B gleichmäßig-,die erste konvergiert auf und im Inneren von C 0 gleichmäßig, die

7 ) Funktionentheorie I (Leipzig 1912), S. 51.

8 ) Plemelj, Monatshefte für Math, und Phys. 19 (1909), S. 205—210.