Entwicklung nach Polynomen.

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(&-j-l)-ie, Je = 1 , 2, ..., n, konvergiert auf und im Äußeren von C kgleichmäßig.

Der Beweis dieses Satzes ist fast genau derselbe wie der Beweis desSatzes III.

6°. Jede Funktion F(z), die auf einem Jordanschen Kurvénstück G'stetig ist, läßt sich auf G' nach Polynomen von z gleichmäßig entivickeln.

Man kann eine Jordansche Kurve C konstruieren, von welcher dasStück C' ein Bogen ist"). Wir nehmen an, daß der Nullpunkt inner-halb G liegt. Die Funktion F(z ) läßt sich auf G fortsetzen, so daß dieerweiterte Funktion F(z) auf der ganzen Kurve G stetig ist. Nach Satz Iläßt sich die Funktion .F(z) auf G nach Polynomen von z und 1/z gleich-mäßig entwickeln.

Die Funktion 1 Jz läßt sich auf G' nach Polynomen von z gleich-mäßig approximieren. In der Tat, sei K ein Jordansches Kurvenstück,welches den Nullpunkt mit dem Punkt oo verbindet, und welches keinenPunkt von C' enthält 10 ). Die in solcher Weise aufgeschnittene Ebene istein einfach zusammenhängender Bereich B, in dessen Inneren die Funktion 1/zregulär-analytisch ist, und dessen Inneres den Punkt oo nicht enthält.Nach dem wohlbekannten Satze von Runge ist also die Funktion 1/z imInneren von B nach Polynomen von z entwickelbar und die Reihe kon-vergiert gleichmäßig in jedem ganz im Inneren von B liegenden abge-schlossenen Bereich, daher auf C'.

Da F(z) auf C' nach Polynomen von z und 1/z gleichmäßig ent-wickelbar ist, und da die Funktion 1/z sich auf C' durch Polynome von zgleichmäßig approximieren läßt, so ist F[z) auf C' nach Polynomen von zgleichmäßig entwickelbar.

Die Bemerkung 6° ist eine direkte Verallgemeinerung des klassischenWeierstraßschen Satzes, daß jede in einem abgeschlossenen Intervalla<Lx<^b stetige Funktion F(x) sich in diesem Intervall nach Polynomenin X gleichmäßig entwickeln läßt.

Diese Bemerkung 6° hat der Verfasser erst nach einer Unterredungmit Professor Hartogs gemacht. Professor Hartogs hatte schon diese Be-merkung für ein analytisches Kurvenstück G' gebraucht, um weitere An-wendungen auf Entwicklungen nach Polynomen zu machen. Die allge-meinere Bemerkung 6° ist ebenfalls weiterer Anwendungen fähig 11 ).

°) Vgl. von Kerékjártó, Topologie I, S. 69 (Berlin 1923).

I0 ) Ein einfacher Bogen zerlegt die Ebene nicht, von Kerékjártó, 1. c. S. 67.

"■) Hartogs und Rosenthal, eine Arbeit, die in den Mathem. Annalen erscheint.

(Bemerkung bei der Korrektur.) Noch eine weitere Anwendung ist fol-gende: Ist die Funktion F (z) auf einer beschränkten abzahlbaren Punktmenge M, die

(Fortsetzung auf dir nächsten Seite.)

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