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J. L. Walsh.

Für die ursprüngliche Bemerkung 6° muß die Kurve C' ganz imEndlichen liegen, aber für die folgende Bemerkung — die sehr leicht zubeweisen ist — kann die Kurve C' sich ins Unendliche erstrecken.

Es sei die Funktion f(z) auf einem Jordanschen Kurvenstück G'stetig. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jede auf G'stetige Funktion nach Polynomen von f(z) gleichmäßig entwickelbar sei,besteht darin, daß f(z x ) =(= f(z 2 ) sei, wenn z x =)= z 2 ist und z 1 und z„auf G' liegen.

Diese Bedingung ist nämlich die, daß die Transformation u = f{z)das Kurvenstück C' eineindeutig auf ein beschränktes Jordansches Kurven-stück abbildet.

Wenn die Funktion f(z) reell ist, so ist also notwendig und hin-reichend, daß f(z) monoton im engeren Sinne sei.

Sind die Punkte der Kurve C' als eine eindeutige stetige Funktionz{t) des reellen Parameters t gegeben, wo z (ij =(= z (i 3 ) ist, wenn =(=ist, so heißt monoton im engeren Sinne, daß t t < t„ stets f[z (t 1 )J < f[z(t„)]ergibt, oder daß \ stets /"[z()] > f[z(i.,)] ergibt. Wenn die Kurve C'ein Intervall der reellen Axe ist, so ist diese Bedingung, daß f(z) strengmonoton sei 12 ).

Es gibt also keine stetige reelle oder komplexe Funktion f(z) vonPeriode p, derartig, daß eine beliebige stetige Funktion F(z) der reellenVeränderlichen z von Periode p nach Polynomen von f(z) gleichmäßigapproximierbar ist. Nach Bemerkung 2° gibt es auch keine reelle stetigeFunktion f(z) von Periode p, so daß eine beliebige stetige Funktion F(z)der reellen Veränderlichen z von Periode p nach Polynomen von f(z)und 1 jf(z) gleichmäßig entwickelbar ist. Eine notwendige und hinreichendeBedingung für eine solche komplexe Funktion f(z ) ist natürlich in Be-merkung 2° enthalten.

7°. Wenn man eine stetige Funktion einer reellen Veränderlichen xdurch Polynome von f(x) gleichmäßig approximieren will, so ist es keines-

nur endlich viele Häufungspunkte besitzt, stetig, dann ist F (z) auf M nach Polynomenin z gleichmaßig entuiickelbar. Man konstruiert in der Tat ein Jordansches Kurven-stück C , welches die Menge M enthält, und man erweitert die Definition der Funk-tion F(z), so daß sie überall auf C definiert und stetig ist. Die Funktion F (z) istauf G nach Polynomen gleichmäßig entwickelbar, also auch auf M. Diese Aussagewurde von Herrn Szegö und mir zusammen formuliert.

la ) Eine solche Transformation u- f (z) wird oft von Lebesgue, S.Bernstein, Jackson,de la Vallée-Poussin und anderen in der Theorie der Approximation durch Poly-nome einer reellen Veränderlichen gebraucht, um Resultate über rationale Poly-nome bei der Annäherung durch trigonometrische Polynome anzuwenden, undumgekehrt. Vgl. de la Vallée-Poussin, Approximation des fonctions d'une variableréelle (Paris 1919).