Entwicklung nach Polynomen. 445

wegs notwendig, daß f(x) selbst stetig sei 13 ). Wir beweisen in der Tatdas folgende für reelle Funktionen:

Es sei die reelle Funktion f(x) definiert auf der beschränkten Punkt-menge C der reellen Achse. Eine notwendige und hinreichende Bedingungdafür, daß eine willkürliche auf G im engeren Sinne stetige Funktion F (x)nach Polynomen von fix) gleichmäßig entwickelbar sei, besteht darin,daß f{x) eine beschränkte Funktion sei, deren Umkehrfunktion eindeutigund im engeren Sinne stetig ist.

Die Funktion g(z) heißt im engeren Sinne stetig, wenn limz n = z 0

n-> co

nur dann in sich schließt, daß lim¡7(2,,) existiert, wenn g(z n ) definiert

n-> co

ist, und daß diese Grenze gleich g (2,,) ist, wenn auch g(z 0 ) definiert ist.

Diese Bedingungen sind notwendig. Die Funktion f(x) muß beschränktsein, sonst ist keine beschränkte Funktion F(z) gleichmäßig entwickelbar,außer einer Konstanten. Die Umkehrfunktion x = cp{u ) von u = f(x)muß eine eindeutige Funktion von u sein. Sonst hätten wir

t( X l)=f( X *)> X 1 + X -2 •

In diesem Falle wäre die Funktion F(x) = x nicht gleichmäßig ent-wickelbar, weil die Reihen für x — x 1 und x = x í¡ dieselben wären, mitF( Xl ) + F(x 2 ).

Die Funktion cp (u) muß im engeren Sinne stetig sein, sonst hätten wirlim u n = u 0 , lim cp{u n ) = cp 0 ,

n-> 00 7&->co

lim u¿ = u 0 , lim 93«) = cpó H= <Po,

n-> co n-> co

wo die Werte uñ alle gleich u 0 sein dürfen. Wir hätten auch anderseitsfür F(x) = x die Reihen

(6) F(x)= 2Jc in [f(x)] n , c in konstant,

i= 0 71=0

<p(u*) = Js üc in u£, <p(uk) = 2 2c in {u' k ) n .

i=0 n=0 i= 0 n = 0

13 ) Die Funktion f(x) kann ja in jedem Punkt unstetig sein. Es sei zum Bei-spiel das Intervall 0 < x < 1 ; wir setzen

x rational,x irrational.

Man kann jede für 0 ^ x < 1 stetige Punktion durch Polynome von fix) gleichmäßigapproximieren.

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