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J. L. Walsh.

Die entsprechenden Gleichungen für die Grenzwerte:

OO Í CO ^

9?0 == Cin Uo ; SPo ' * ¿Lj ^ Mo j

¿=0 n—0 i= 0 n=0

enthalten also den Widersprach cp 0 = cp' 0 .

Die Bedingung ist hinreichend. Die Funktion F[cp(u )] ist vielleichtnicht auf einer abgeschlossenen Punktmenge definiert, aber läßt sich er-weitern, so daß sie auf einer abgeschlossenen Punktmenge definiert undstetig ist und zwar so, daß sie für alle Werte von u definiert und stetigist. Wenn M so gewählt ist, daß \f(x)\^M ist, so ist F[(p(u)]für —M^u^M nach Polynomen von u gleichmäßig entwickelbar:

FW{u)] = .ï 2c in u n

i=0 71=0

ist, welches gleichwertig mit (6) ist. Hiermit ist unser Beweis vollendet.

Dieser Satz gilt auch für eine unbeschränkte Punktmenge G, wennin der Definition der Stetigkeit im engeren Sinne auch der Wert oo alsGrenzwert für abhängige und unabhängige Veränderliche zulässig ist, undwenn wir nur beschränkte Funktionen F (x) entwickeln.

8°. Man kann auch analytische Funktionen einer komplexen Ver-änderlichen durch Polynome einer unstetigen Funktion gleichmäßig ap-proximieren. Wir geben nur ein sehr einfaches Beispiel; die Erörterungläßt sich leicht verallgemeinern und der Leser wird dann einen allgemeinenSatz formulieren können.

In der z (= x + i y)- Ebene sei u = f 1 (z ) die Funktion, die das Inneredes Halbkreises y>0,\z\<l auf das Innere des Kreises G 1 : | M | ^ 2abbildet und sei u — f^{z) die Funktion, die das Innere des Halbkreises2/ < 0, I z I < 1 auf das Innere einer beliebigen Jordanschen Kurve C 2abbildet, die im Kreise | u — 3 | <[ § liegt. Die Funktionen f 1 (z) bzw.f 2 (z) sind in diesen abgeschlossenen Halbkreisen stetig, wenn passendeDefinitionen der Funktionen auf den Rändern gegeben werden. Es sei C seine beliebige geschlossene Jordansche Kurve, die im Kreise \u — 5¿|^1liegt, und C i ein beliebiges Jordansches Kurvenstück: u= co(t), 0 <¡ 2 <1 1[wobei co(¿ x ) =4= co) ist, wenn t ± =4= t« ist], das im Inneren des KreisesI m— 9 + 6 ¿|=3 liegt. Es sei u = f s (z) die Funktion, die das Inneredes Kreises C : |z| = 1 auf das Innere von C s abbildet; die Funktion f 3 (z)ist im abgeschlossenen Bereich | z j ^ 1 stetig.