Entwicklung nach Polynomen.

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Wir betrachten jetzt die Funktion:

f00 =

/iO), y > o, |z| < l,

/aOO» 2/ < °» l z l <

co (z), 0 < a; < 1,

/*!(z), — 1 <1 X < 0, X rational, y = 0,fa (z), — 1 < ® < 0, a; irrational, .

/s (z) j I Z I = 1, z 2 + 1,

1492, z — 0,

1776, z = l,

die im ganzen abgeschlossenen Bereich G : | z | <[ 1 definiert ist. Wir be-haupten: 1st F{z) im Inneren von G analytisch, im entsprechenden ab-geschlossenen Bereich stetig, so läßt sich F(z) nach Polynomen von f(z)im abgeschlossenen Bereich gleichmäßig entwickeln.

Es sei z = cp(u ) die Umkehrfunktion von u = f(z). Die FunktionF[(p{u)] ist, wenn die Definition passend erweitert wird, im Inneren vonG t , 0 2 , C 3 analytisch, im entsprechenden abgeschlossenen Bereich stetig.Nach Bemerkung 6° läßt sich F[cp («)] auf C 4 durch Polynome von ugleichmäßig approximieren. Wir setzen noch

F[cp(u)]

\F{ 0), I u — 1492 |^1,

\F( 1), I u — 1776 I ¿ 1.

Die in solcher Weise erweiterte Funktion F[cp(u)] ist also nach Poly-nomen von u gleichmäßig entwickelbar 14 ), und es bleibt nur u durch f(z)zu ersetzen, um die Behauptung zu erweisen.

Eine solche Funktion f(z), die die Eigenschaft hat, daß jede FunktionF(.z ), die für | z | < 1 analytisch und im abgeschlossenen Bereich G : | z | ^ 1stetig ist, sich nach Polynomen von f(z) gleichmäßig entwickeln läßt,braucht aber in keinem Punkt stetig zu sein. Die Funktion

{z, X und y rational,

f s (z), in jedem anderen Punkte,

wo f 3 (z) die obige Bedeutung hat, besitzt die besagte Eigenschaft.

9°. Wir fügen noch einen Satz über den Grad der Approximationhinzu :

Es sei die Funktion F(z) auf einer Jordanschen Kurve G definiert.Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß Polynome n-ten

14 ) Walsh, Math. Annalen, loc. cit.