448

J. L. Walsh.

Grades F„(z) existieren, n— 0,1,2,..., derartig, daß die Ungleichheit

(7) \F{z)-V n (z)\<j ¡rn >

B, R > 1, konstant und von n, z unabhängig,

für sämtliche z auj G befriedigt sei, besteht darin, daß eine auf und imInneren von C regulär-analytische Funktion F{z) existiere, die auf Gmit der gegebenen Funktion F(z) übereinstimmt.

Wenn die Ungleichheit (7) für sämtliche z auf G befriedigt ist, soexistiert natürlich eine im Inneren von C reguläre, im entsprechendenabgeschlossenen Bereiche stetige Funktion f(z), die auf G mit der ge-gebenen Funktion F(z) übereinstimmt, so daß (7) für alle z im ab-geschlossenen Bereiche befriedigt ist; die Funktion F(z) ist bloß dieGrenzfunktion der Folge F„(z).

Das Wesentliche dieses Satzes findet sich schon bei Szegö 15 ), ob-gleich nicht ausdrücklich betont, aber nur für den Fall, daß die Kurve Ganalytisch ist.

Wir geben den Beweis dieses Satzes, wenn die Kurve C der Einheits-kreis ist. Einerseits ist, wenn die Funktion F(z) auf und im Innerenvon G regulär-analytisch ist, F(z) regulär-analytisch in einem mit G kon-zentrischen, aber größeren Kreis, und die Abschnitte F n (z) der Taylor-schen Entwicklung um den Nullpunkt von -F(z) befriedigen die Be-dingung ( 7 ). Anderseits bekommt man für die Taylorschen Koeffizienten cvon F(z), wenn F{z) auf C gegeben ist, so daß (7) befriedigt ist,

C » = ¿/^ Z ) Z ~"~ ldZ== 2¿í / t F ( Z )~ V n-l (Z)]z~ n -*dz,c

(8) kl^

cBR 1l ~

Aus (8) folgt unmittelbar, daß die Taylorsche Entwicklung der vorherbeschriebenen Funktion f(z ) in einem Kreis vom Radius q (1 < g < R)gleichmäßig konvergiert. Die Funktion F(z) ist daher auf C regulär-analytisch.

16 ) Math. Zeitschr. 9 (1921), S. 218—270, insbesondere S. 263—267; der Beweisdafür, daß die besagte Bedingung hinreichend ist, stammt im wesentlichen vonFejér her.

Dieses Resultat wurde, wenn C eine Ellipse ist, von S. Bernstein schon früherbewiesen: Mémoires Acad. Roy. de Belgique, Cl. des Sc. (2) 4 (1912), Sätze 24, 61.

Für den Kreis vgl. auch de la Vallée-Poussin, loe. cit. Ch. VIII, IX.

(Bemerkung bei der Korrektur.) Siehe auch eine Arbeit von Walsh,Münchner Berichte, 1926.