Entwicklung nach Polynomen.

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Dieser soeben gegebene Beweis stammt im wesentlichen von Szegö;er g ilt fast unverändert für irgendeine analytische Jordansche Kurve C,wenn man nicht mehr die Taylorsche Entwicklung, sondern die Entwick-lung nach den zur Kurve C gehörenden Polynomen P n (z) (von Szegö)gebraucht.

Der Satz erstreckt sich aber bis zur allgemeinsten Jordanschen Kurve C.Die besagte Bedingung ist hinreichend. Die Funktion F{z) ist auf undim Inneren von G regulär-analytisch, darum in einem größeren abgeschlos-senen Bereiche regulär-analytisch, der aus einer außerhalb G liegendenanalytischen Jordanschen Kurve G 1 und ihrem Inneren besteht. EineFolge von Polynomen existiert mit der Eigenschaft (7) für jedes z aufund im Inneren von C lt infolgedessen für jedes z auf und im Innerenvon G.

Die Bedingung ist notwendig. Es gibt nach einem Satz vonCarathéodory 16 ) außerhalb bzw. innerhalb G liegende analytische Jordan-sche Kurven G 1 und C 2 , so daß das Äußere von G t bzw. C 3 auf dasÄußere des Kreises | u | = q bzw. \u\ = l (1 < q < R) abgebildet wirddurch eine und dieselbe Transformation u = cp(z), wobei <p ( oo) = oo ist.Die Entwicklung der schon definierten Funktion f(z) nach den zu G„ ge-hörenden Polynomen P n (z) von Szegö konvergiert gleichmäßig im abge-schlossenen Bereiche, welcher aus der Kurve G 1 und ihrem Inneren be-steht, wegen der zu (8) entsprechenden Abschätzung. Der Satz ist alsovollständig bewiesen.

Der Satz von Carathéodory und folglich auch unser Satz (mit demobigen Beweis) gilt für allgemeinere Bereichgrenzen als Jordansche Kurven.

Wir greifen den folgenden Satz heraus:

Es sei die Punktmenge G die volle Grenze eines beschränkten (ev. mehr-jach zusammenhängenden) Bereiches B, und es sei die Funktion F(z)auf C definiert. Eine notivendige und hinreichende Bedingung dafür,daß Polynome n-ten Grades V n (z) existieren, n = 0,1,2,..., derartig,daß die Ungleichheit (7) für sämtliche z auf G befriedigt sei, bestehtdarin, daß eine im abgeschlossenen Inneren von C regulär-analytischeFunktion F(z) existiere, die auf C mit der gegebenen Funktion F(z)übereinstimmt. Hier heißt das abgeschlossene Innere von C die Punkt-menge G aller Punkte, deren keiner sich mit dem Punkt oo durch einenStreckenzug verbinden läßt, der keinen Punkt von C enthält. DiesePunktmenge C ist also abgeschlossen; jeder Punkt von G selbst gehörtdazu.

ie ) Math. Annalen 72 (1912), S. 107-144, Kap. III.