450 J- L. Walsh. Entwicklung nach Polynomen.

Die Bedingung ist hinreichend. Die Funktion F[z) ist auf und inner-halb einer Jordanschen Kurve analytisch, welche jeden Punkt des abge-schlossenen Inneren von G enthält 17 ). Polynome existieren also, welchedie Eigenschaft (7) für alle zu G gehörenden Punkte z besitzen.

Die Bedingung ist auch notwendig. Die zu G komplementäre Menge(in bezug auf die ganze Ebene) ist ein Bereich, dessen Grenze zur Punkt-menge C gehört. Der Satz von Carathéodory und seine Anwendung geltenalso wie vorher, wenn B einfach zusammenhängend ist. Wenn der Be-reich B nicht einfach zusammenhängend ist, so ist noch eine kurze Er-örterung nötig. Die Punktmenge B ', die aus den Punkten von B undden Punkten des Inneren jedes ganz in B liegenden Polygons besteht,ist ein einfach zusammenhängender Bereich, von welchem jeder Grenz-punkt auch ein Grenzpunkt von B ist. Das abgeschlossene Innere derGrenze von B ' fällt mit dem abgeschlossenen Inneren G der Grenze von Bzusammen und enthält natürlich jeden Punkt der Bereiche B und BDie Grenzfunktion f(z) der Folge V n (z) ist auf der ganzen Punktmenge Gdefiniert, und die Ungleichheit (7) gilt für f(z) statt F(z) für jedenPunkt z von C. Wir gebrauchen den Bereich B ' statt B in der An-wendung des Satzes von Carathéodory.

17 ) Vgl. Walsh, Math. Annalen, loc. cit., Bemerkung 3.

(Eingegangen am 26. 1. 1926.)