Intuitionietische Mathematik. III.
455
+ m F oder 1 i 1 + ^F + ... + m F ~ F bzw. F ^ + „F + 3 F + ... oderl F+,F + s F+...~F. 1 )
Sei FÍ, F-Í , ... eine Fundamentalreihe, in welcher jedes F r entwederin Fortfall kommt oder eine wohlgeordnete Spezies vorstellt, wobei indesentweder eine steigende Fundamentalreihe v 1 ,v i ,v a> ... definiert ist, sodaß jedes Fl eine wohlgeordnete Spezies vorstellt, oder ein m bekannt
ist, so daß Fy für v > m in Fortfall kommt. Wenn dann F v = Fl + F¿+ ... + jFr auf Grund der ersten erzeugenden Operation, undF = F' F-2 + Fi + ... auf Grund der ersten oder auf Grund derzweiten erzeugenden Operation, so wird die wohlgeordnete Spezies F auchals lim F r bezeichnet.
V
Mittels der induktiven Methode beweisen wir leicht folgende Sätze:
1. Ein Gesetz, welches in einer wohlgeordneten Spezies F eine kon-struktive Unterspezies F' bestimmt und jeder schon bestimmten konstruk-tiven Unterspezies F {y) entweder die Hemmung des Prozesses oder eine inF vor F {v) liegende konstruktive Unterspezies F {v+1) zuordnet, bestimmtsicher eine natürliche Zahl n und eine zugehörige konstruktive Unter-spezies F (n) , der es die Hemmung des Prozesses zuordnet. Insbesondere giltdiese Eigenschaft, wenn jedes F (v) ein Element von F ist, und hierausfolgern wir unmittelbar die Unmöglichkeit der Ähnlichkeit und insbesondereder Gleichwertigkeit von F und einer Teilspezies eines eigentlichen Ab-schnittes von F.
2. Eine wohlgeordnete Spezies F ist entweder endlich oder abzählbarunendlich, und die Spezies ihrer Vollelemente ist zählbar. Mithin ist dieSpezies derjenigen Nummernreihen, welche als Indizesreihe eines Voll-elementes von F auftreten können, eine Menge, so daß in dieser Weisezu jeder wohlgeordneten Spezies eine zählbare vollständig geordnete Mengevon endlichen Nummernreihen gehört, welche die Eigenschaft besitzt, daßjedes Gesetz, welches in ihr eine Nummernreihe z' bestimmt, und jederschon bestimmten Nummernreihe z w entweder die Hemmung des Prozessesoder eine vor 2 (v) liegende Nummernreihe z {v+1) zuordnet, sicher eine natür-liche Zahl n und eine zugehörige Nummernreihe z in \ der die Hemmungdes Prozesses zugeordnet ist, bestimmt.
1 ) Offenbar ist auf Grund dieser Gleichungen F nicht eindeutig durch die V F be-stimmt. Weiter ist zu bemerken, daß jedes Element von F in t F+ m Fbzw. in t F+ ç.F+ 3 F +... eine um 1 höhere Anzahl Indizes besitzt als in F. InÜbereinstimmung hiermit schreiben wir insbesondere F G oder G ~ F, wennF—>G oder G+—F, d. h. wenn G aus F hervorgeht, indem wir auf F die ersteerzeugende Operation mit nur einem einzigen Summanden anwenden, also der Indizes-reihe eines jeden Elementes von F den Index 1 als ersten Index hinzufügen.