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L. E. J. Brouwer.

3. In der wohlgeordneten Spezies F existiert erstens ein erstes Element,zweitens entiveder ein letztes Element oder eine abschließende Fundamental-reihe von Elementen. Weiter existiert entweder keine letzte konstruktiveUnterspezies nichtverschivindender Ordnung oder eine nicht verschwindendeendliche Anzahl m von solchen, nämlich von den Ordnungen 1,2 mje eine.

4. In der ivohlgeordneten Spezies F besitzt jedes Element e, mit Aus-nahme des ersten, entiveder ein ihm unmittelbar vorangehendes Element,oder es ist Grenzelement einer steigenden Fundamentalreihe von Elementenvon F. Schreiben wir nämlich F ~ F e + e F, so ist dieser Satz eine un-mittelbare Folge des auf F c angewandten Satzes 3.

5. In der wohlgeordneten Spezies F besitzt jedes Element, mit Aus-nahme des letzten, falls ein solches existiert, ein nächstfolgendes Element.

Wenn die wohlgeordnete Spezies F' einem wenigstens ein Vollelementauslassenden Abschnitt der wohlgeordneten Spezies F gleichwertig ist,so schreiben wir F' < F" oder F" > F', und sagen, daß F größer istals F', und daß F' kleiner ist als F". Schreiben wir noch F'^~F oderF'^iF', wenn entweder F' ~ F" gilt oder F' einem Abschnitte von Fgleichwertig ist, so gelangen wir, indem wir die Folgerung des obigenSatzes 1 berücksichtigen, sofort zu den folgenden Eigenschaften:

1. Die Relationen F' < F" und F'^_F" schließen einander aus.

2. Aus F' < F" und F" ^ F " sowie aus F'^F" und F" < F'folgt F'<F'".

3. Aus F'~F" und F" ~ F'" folgt F'~F"'.

4. Aus F'<F" und F"<F"' folgt F'<F'".

5. Die Relationen F'^F und G<G schließen zusammen dieRelation F' + G'>F"+G" aus.

6. Die Relationen F'^~F und G'^G schließen zusammen dieRelation F' + G' > F" + G ' aus.

Eine wohlgeordnete Spezies, welche ausschließlich Vollelemente ent-hält, nennen wir vollständig. Die Ordinalzahlen der vollständigen wohl-geordneten Spezies nennen wir Ordnungszahlen.

Die Spezies derjenigen Ordnungszahlen, welche kleiner sind als einegegebene Ordnungszahl ß, besitzt (wenn sie nach der Größe ihrer Elementegeordnet und 0 mit hinzugerechnet wird) die Ordinalzahl ß. Zwischen denvom ersten verschiedenen Elementen und den eigentlichen Abschnitteneiner vollständigen wohlgeordneten Spezies F der Ordnungszahl ß bestehtnämlich eine solche eineindeutige Beziehung, daß, wenn das Element e 2nach dem Elemente e x liegt, der Abschnitt V e .. größer als der AbschnittV e¡ ist.