Intuitionistische Mathematik. III.

457

Wir nennen eine wohlgeordnete Spezies quasi-vollständig, wenn zueinem beliebigen Nullelement e 0 entweder ein erstes auf e 0 folgendes Voll-element angegeben werden kann oder feststeht, daß keine auf e 0 folgendenVollelemente existieren; zu einem beliebigen Vollelement e i entweder einerstes e 1 vorangehendes und durch kein Vollelement von e 1 getrenntesNullelement angegeben werden kann, oder feststeht, daß keine e 1 voran-gehenden und durch kein Vollelement von e 1 getrennten Nullelementeexistieren; und entweder ein erstes Nullelement, auf welches nur nochNullelemente folgen, angegeben werden kann, oder feststeht, daß keineNullelemente, auf welche nur noch Nullelemente folgen, existieren.

Die Ausschnitte und Reste einer quasi-vollständigen wohlgeordnetenSpezies sind offenbar ebenfalls quasi-vollständig.

Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Quasi-Vollständig-keit einer wohlgeordneten Spezies besteht darin, daß während ihrer Er-zeugung bei jeder durch eine Formel F' = F[ + F> -|- F¡ + ... aus-gedrückten Anwendung der zweiten erzeugenden Operation die betreffendeFundamentalreihe elementar induziert ist, d. h. entweder eine Fundamental-reihe von unbeschränkt wachsenden natürlichen Zahlen m 1 , m„, m 3 , ...bestimmt ist, so daß in jedem Fm p ein Vollelement angegeben werdenkann, oder eine natürliche Zahl m besteht, so daß F', für v > m lauterNullelemente enthält. Hieraus folgern wir mittels der induktiven Methodeweiter, daß zu einem beliebigen Elemente e einer quasi-vollständigen wohl-geordneten Spezies, mit Ausnahme des ersten, entweder ein erstes e voran-gehendes und durch kein Vollelement von e getrenntes Nullelement, odereine e als Grenzelement besitzende steigende Fundamentalreihe von Voll-elementen, oder aber ein e unmittelbar vorangehendes Vollelement an-gegeben werden kann, während entweder ein erstes Nullelement, aufwelches nur noch Nullelemente folgen, oder eine abschließende Fundamental-reihe von Vollelementen, oder aber ein letztes Element, das ein Voll-element ist, existiert.

Mittels der induktiven Methode ersieht man leicht, daß die Speziesder Vollelemente einer quasi-vollständigen wohlgeordneten Spezies F' ent-weder elementlos ist oder ein angebbares Element besitzt, während imletzteren Falle eindeutig eine n F' entsprechende" oder „mit F ' korrespon-dierende", mit F' inhaltsgleiche vollständige wohlgeordnete Spezies F"bestimmt ist. Sei nämlich F = Fl + F-¿ + . .. auf Grund der ersten oderauf Grund der zweiten erzeugenden Operation, und seien im Falle, daß F'ein angebbares Vollelement besitzt, F v¡ , F^, .. . diejenigen (endlich- oderabzählbarunendlichvielen) unter den F v , welche je ein angebbares Voll-element und im Anschluß daran eine entsprechende vollständige wohl-

Mathematische Annalen. 96. 30