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L. E. J. Brouwer.

geordnete Spezies F" a besitzen. Alsdann ist F" — F,'.'-\- F"„ + ... aufGrund der ersten oder auf Grund der zweiten erzeugenden Operation.

Dagegen ist nicht jede mit einer vollständigen inhaltsgleiche wohl-geordneten Spezies F auch quasi-vollständig, und zwar schon deshalb nicht,weil ihre konstruktiven Unterspezies nicht mit vollständigen wohlgeordnetenSpezies inhaltsgleich zu sein brauchen, wie aus folgendem Beispiel hervor-geht: es werde k 1 in üblicher Weise (vgl. z. B. Math. Ann. 93, S. 255)definiert und es sei F 1 = a 1 -\- a 2 + « 3 + •.., wo a,. für v^>k 1 ein Null-element, sonst ein Vollelement ist; F. 2 — b x + & 9 + b a + ..wo b v fürV = k 1 ein Vollelement, sonst ein Nullelement ist; F 3 = c x -f- c 3 -f- c 3 + ..wo c r für V > Jc 1 ein Vollelement, sonst ein Nullelement ist;F = F 1 + F s + Fg.

Einer quasi-vollständigen wohlgeordneten Spezies sprechen wir diegleiche Ordnungszahl zu, wie den vollständigen wohlgeordneten Spezies,mit denen sie inhaltsgleich ist. Den ausschließlich Nullelemente enthalten-den wohlgeordneten Spezies sprechen wir die Ordnungszahl Null zu. Dieordnungsgemäße Summe einer „der ersten erzeugenden Operation unter-zogenen" endlichen Folge von Ordnungszahlen wird mittels der ordnungs-gemäßen Summe entsprechender vollständiger bzw. (im Falle der Ordnungs-zahl Null) nur ein einziges Nullelement enthaltender wohlgeordneter Spezieswiederum als Ordnungszahl definiert. (Das gleiche Resultat wird erhalten,wenn im Falle, daß alle Summanden gleich Null sind, auch die Summegleich Null gesetzt wird, und im entgegengesetzten Falle nur die vonNull verschiedenen Summanden beibehalten werden).

Eine wohlgeordnete Spezies heißt basiert, wenn ihr erstes Elementein Vollelement ist.

Eine wohlgeordnete Spezies F heißt kondensiert , wenn sie einen(eigentlichen oder uneigentlichen) Abschnitt der Ordnungszahl 1 besitzt.Der vom auf das erste Vollelement von F folgenden Elemente bestimmteRest von F heißt Hauptrest von F und wird mit h ( F ) bezeichnet. Selbst-verständlich kann h (F) auch in Fortfall kommen.

Bei der Multiplikation von endlichvielen elementefremden wohl-geordneten Spezies erteilen wir das Prädikat eines Vollelementes nur den-jenigen Elementen des Produktes, welche aus lauter Vollelementen derFaktoren bestehen; alle anderen Elemente des Produktes erhalten dasPrädikat eines Nullelementes. Mittels der induktiven Methode an derHand der Erzeugung des rechtsseitigen Faktors ersehen wir, daß das Pro-dukt zweier elementefremder wohlgeordneter Spezies in auf der Handliegender Weise wiederum eine wohlgeordnete Spezies liefert, welche auchkurz als das Produkt der von den Faktoren dargestellten wohlgeordnetenSpezies bezeichnet wird. Diese Erweiterung des Produktbegriffes läßt sich