Intuitionistische Mathematik. III.

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unmittelbar auf das Produkt endlichvieler elementefremder wohlgeordneterSpezies ausdehnen. Erzeugungsgleiche bzw. gleichwertige bzw. inhalts-gleiche Faktoren liefern dabei erzeugungsgleiche bzw. gleichwertige bzw.inhaltsgleiche Produkte. Das Produkt endlichvieler Ordnungszahlen wirdmittels des Produktes entsprechender vollständiger bzw. (im Falle derOrdnungszahl Null) nur ein einziges Nullelement enthaltender wohl-geordneter Spezies wiederum als Ordnungszahl definiert.

Man beweist ohne Schwierigkeit, daß das Produkt zweier quasi-voll-ständiger Faktoren wiederum quasi-vollständig ist und inhaltsgleich mitdem Produkte der vollständigen bzw. nur ein einziges Nullelement ent-haltenden wohlgeordneten Spezies, mit denen seine Faktoren inhaltsgleichsind, so daß die Ordnungszahl des Produktes gleich dem Produkte derOrdnungszahlen der Faktoren ist. Mithin gilt dasselbe für das Produktendlichvieler quasi-vollständiger Faktoren.

§ 2. Unter den Ordnungszahlen des ersten Bereichs verstehen wirdie endlichen Ordnungszahlen, mit Einschluß der Ordnungszahl Null.

Unter einer Spezies des ersten Bereichs verstehen wir eine (vollständigeoder quasi-vollständige) wohlgeordnete Spezies, welche eine Ordnungszahldes ersten Bereichs besitzt.

Offenbar ist jede Spezies des ersten Bereichs, deren Ordnungszahl vonNull verschieden ist, kondensiert.

Zwei beliebige Ordnungszahlen des ersten Bereichs sind vergleichbar,d. h. wenn die Relationen > , =, ^ zwischen zwei nicht verschwindendenOrdnungszahlen dann gelten sollen, wenn sie für die entsprechenden voll-ständigen wohlgeordneten Spezies gelten, und die Ordnungszahl Null alskleiner als die Ordnungszahl einer beliebigen vollständigen Spezies desersten Bereichs gelten soll, dann sind zwei beliebige Ordnungszahlen desersten Bereichs entweder einander gleich oder eine von ihnen ist größerals die andere. Überdies besitzen sie, wenn sie voneinander und von Nullverschieden sind, eine gleichfalls zum ersten Bereich gehörende Differenz.

Die ordnungsgemäße Summe und das Produkt endlichvieler Ord-nungszahlen des ersten Bereichs sind wiederum Ordnungszahlen des erstenBereichs.

Eine Fundamentalreihe ß ± , ß 2 , ... von Ordnungszahlen des ersten Be-reichs heißt induziert in bezug auf den ersten Bereich, wenn entwedereine Fundamentalreihe von unbeschränkt wachsenden natürlichen Zahlenm v m.,, m 3 , ... bestimmt ist, so daß jedes ß my von Null verschieden ist,oder eine natürliche Zahl m besteht, so daß ß r für r > m gleich Null ist.

Wenn wir die ordnungsgemäße Summe einer „der zweiten erzeugendenOperation unterzogenen" in bezug auf den ersten Bereich induzierten Fun-

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