Intuitionistische Mathematik. III.

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Eine wohlgeordnete Spezies F heißt scharf zerlegt in bezug auf denersten Bereich , wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden)Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest F regulär zerlegt wer-den kann, daß jeder Rest von F' entweder aus lauter Nullelementen be-steht oder die Ordnungszahl co oder einen Abschnitt der Ordnungszahl co be-sitzt und F eine Ordnungszahl des ersten Bereichs besitzt (hierbeikönnen wir, ohne der wohlgeordneten Spezies F eine weitere Einschränkungaufzuerlegen, überdies fordern, daß F' entweder in Fortfall kommt oderwenigstens ein Vollelement enthält).

Eine quasi-vollständige wohlgeordnete Spezies F ist, wie man unterVerwendung des S. 457, Z. 13 bis 21 erwähnten Satzes mittels der induk-tiven Methode einsieht, unbestimmt zerlegt in bezug auf den ersten Bereich,dagegen nicht notwendig scharf zerlegt in bezug auf den ersten Bereich,wie aus folgendem Beispiel hervorgeht: Es bestehe F v für v = yfc x aus einerFundamentalreihe von Vollelementen, sonst aus einem einzigen Vollelement,und es sei F = F 1 + + -^s + • • • •

Ebensowenig ist eine in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegtewohlgeordnete Spezies F notwendig quasi-vollständig, sogar nicht mit einervollständigen inhaltsgleich, wie folgendes Beispiel zeigt: Es bestehe G v fürv k 1 aus einer Fundamentalreihe von Vollelementen, für v = k 1 + 1 undfür v = k 1 + 2 aus einem einzigen Vollelement, für v > k 1 -f- 2 aus einemeinzigen Nullelement, es sei G = G 1 + 6r 2 + G s + • • • > es bestehe H auseiner Fundamentalreihe von Vollelementen, und es sei F = G + H (ausdiesem Beispiel geht gleichzeitig hervor, daß die konstruktiven Unter-spezies einer in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegten wohlgeord-neten Spezies in bezug auf den ersten Bereich nicht einmal unbestimmtzerlegt zu sein brauchen).

Eine mit einer vollständigen inhaltsgleiche wohlgeordnete Spezies Fist nicht notwendig unbestimmt zerlegt in bezug auf den ersten Bereich,wie man aus folgendem Beispiel ersieht: Es bestehe F r für v <L 1e y + 1aus einem Vollelement, sonst aus einem Nullelement, Fy' ] (^>1) fürv = k 1 + aus einem Vollelement, sonst aus einem Nullelement, es seiF w {p = 1, 2, 3, ...) = *i a) + Ff + Fa' ] + • • • und es sei F = F' + F" ++ F'" + ... (vom Reste F" F' + . .. von F läßt sich hier wederbehaupten, daß er aus lauter Nullelementen bestehe, noch daß er einenmit co inhaltsgleichen Anfangsteil besitze).

Wir fügen noch ein Beispiel einer wohlgeordneten Spezies F hinzu,welche einerseits mit einer vollständigen inhaltsgleich, aber nicht quasi-vollständig, andererseits in bezug auf den ersten Bereich unbestimmt, abernicht scharf zerlegt ist: Es bestehe I* r fí) (¡u < k^ für v — ¡i aus einemVollelement, sonst aus einem Nullelement, Fy' } (ju = k l ) für v'^tk 1 aus