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L. E. J. Brouwer.

einem Yollelement, sonst aus einem Nullelement, Fl!' ] ( i a>i 1 ) aus einemNullelement, es sei F w — F^ + F^ + F-¡¡ 1) + • • • un( l es sei F = F' + F" -\-

Eine wohlgeordnete Spezies F heißt vollständig induziert in bezugauf den ersten Bereich, wenn während ihrer Erzeugung bei jeder durcheine Formel F 0 = F t + F<¡ -f- F a + ... ausgedrückten Anwendung derzweiten erzeugenden Operation, wo jedes F v nach der Formel F v ^ Fl -j- F"in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegt ist, die betreffende Funda-mentalreihe F lt F„, F 3 , ... in bezug auf den ersten Bereich induziert ist,d. h. erstens entweder eine unbeschränkt wachsende Fundamentalreihev v v v v s> • • • existiert, so daß jedes F v Vollelemente besitzt, oder einsolches m angegeben werden kann, daß F v für v > m aus lauter Null-elementen besteht bzw. fortfällt, zweitens im letzteren Falle die Funda-mentalreihe der Ordnungszahlen von F", F¡ , F',' , ... (wobei wir einem fort-fallenden F v die Ordnungszahl Null zusprechen) in bezug auf den erstenBereich induziert ist. Demzufolge ist dann jedesmal auch F 0 in bezugauf den ersten Bereich scharf zerlegt.

Sei Fi l ,• i m ein Element der in bezug auf den ersten Bereich vollständig

induzierten wohlgeordneten Spezies F. Der Reihe nach ergibt sich, daß diesesElement in F t¡ in > iiÍ2 ..., in F i± in F {l und in F je einen

Abschnitt und einen Rest bestimmt, die in bezug auf den ersten Bereichgleichfalls vollständig induziert sind. Mithin haben wir den Satz, daß jederAusschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den ersten Bereich voll-ständig induzierten wohlgeordneten Spezies F gleichfalls in bezug auf denersten Bereich vollständig induziert ist.

Eine in bezug auf den ersten Bereich vollständig induzierte wohl-geordnete Spezies F ist offenbar erstens quasi-vollständig, zweitens scharfzerlegt in bezug auf den ersten Bereich 2 ). Schreiben wir, der scharfen Zer-legbarkeit von F in bezug auf den ersten Bereich entsprechend, F ^ F' ~ f- F",so besitzt die wohlgeordnete Spezies F\ wenn sie nicht fortfällt, entwedereinen Rest der Ordnungszahl m, oder alle nichtverschwindenden Ordnungs-zahlen von Resten von F' sind größer als co. 3 )

3 ) Dagegen ist sogar eine sowohl vollständige wie in bezug auf den ersten Be-reich scharf zerlegte wohlgeordnete Spezies nicht notwendig vollständig induziert in

bezug auf den ersten Bereich, wie folgendes Beispiel zeigt: Es bestehe F v für v <kyaus einer Fundamentalreihe von Vollelementen, für v >• aus einem einzigen Voll-element, und es sei F = F l J t -F. 1 J rF ;i J r ....

3 ) Die Aussage, daß eine in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziertewohlgeordnete Spezies F in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegt ist, bleibtauch dann richtig, wenn die Bedingungen für die scharfe Zerlegung dahin verschärftwerden, daß im entsprechenden F' kein Nullelement, auf welches nur Nullelementefolgen, enthalten sein darf.