Intuitionistische Mathematik. III.

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Sei F eine in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziertewohlgeordnete Spezies, welche mit der ordnungsgemäßen Summe einerFundamentalreihe F x , F„, ... von in bezug auf den ersten Bereich scharfzerlegten wohlgeordneten Spezies gleichwertig ist. Wir wollen beweisen,daß die Fundamentalreihe F v F 2 , ... in bezug auf den ersten Bereich in-duziert ist und bemerken dazu zunächst, daß für die wohlgeordneteSpezies F, eben weil sie in bezug auf den ersten Bereich vollständig indu-ziert ist, eine der drei folgenden Eigenschaften bestehen muß: EntwederF besitzt einen Rest mit einer Ordnungszahl des ersten Bereichs (die auchNull sein kann), oder von einem gewissen Rest von F besitzt jeder Rest■die Ordnungszahl co, oder aber jeder Rest von F besitzt eine Ordnungs-zahl > co. Diese drei Fälle behandeln wir der Reihe nach.

Erster Fall. F besitzt einen Rest F° mit einer Ordnungszahl desersten Bereichs. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigenRest F 2 , daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe

F m +i> ■ • • mit F " gleichwertig ist, so daß jedes Glied der

letzteren Fundamentalreihe eine Ordnungszahl des ersten Bereichs besitztund die Fundamentalreihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungs-gemäße Summe eine Ordnungszahl des ersten Bereichs ist) in bezug aufden ersten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbe für die Funda-mentalreihe der Ordnungszahlen von F m+1 , F m + a ,... bzw. für die Fun-damentalreihe der Ordnungszahlen von F^+i, F„+2> •••> mithin auch fürdie Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m+1 , F m+ mit-hin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F v F 3, F s ,....

Zweiter Fall. Vom Reste F° von F besitzt jeder Rest die Ordnungs-zahl co. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigen Rest F mi ,daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe F m% , F m+1 ,F m + i , ...mit F° gleichwertig ist, so daß jedes Glied der letzteren Fundamentalreiheeine Ordnungszahl des ersten Bereichs besitzt und die Fundamentalreihedieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungsgemäße Summe gleich coist) in bezug auf den ersten Bereich induziert ist. Dann aber gilt das-selbe für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m + 1 , F m+i , .. . bzw.für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m+1 , F m+S , . .., mithinauch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m+1 , F m+a , ..mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F 1 , F„,F

_l 3 , ... .

Dritter Fall. Jeder Rest von F besitzt eine Ordnungszahl > co. Zujedem m gibt es dann ein derartiges v m , daß für einen bestimmten (eigent-lichen oder uneigentlichen) Abschnitt F,° m von F,. m die ordnungsgemäßeSumme F m -f- F m+1 + • • • + F Vm -i -f Fy m die Ordnungszahl co besitzt, so