Intuitionistische Mathematik. III. 465

CO

Wenn ß = ^ ß v auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, so ist

V = 1

aß = -)- K^-h(cc^) -f- aß* + ß*-h (a^ s ) lim aßi+ßt+ •••+ßv

~ lim a ßl+ +ßei) + Cßei+1 + "' + ße<t) + + < ^"- 1 +1 + + ßßv ',

V

wo gl, g 2 , ... eine beliebige Fundamentalreihe von unbeschränkt wachsendennatürlichen Zahlen vorstellt.

Aus diesen Festsetzungen folgt, daß aß wiederum ein basierter Er-zeugungswert ist. Ist weiter ß° der mit ß korrespondierende vollständigebzw. einer Null-Urspezies entsprechende Erzeugungswert, so ist, wie sichmittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von ß heraus-stellt, aß" = aß.

Hinsichtlich des Potenzbegriffes gelten zunächst folgende Sätze:

1. Wenn ß ~ ß -j- „ß .. . -|- Jß , so ist aß ^ a *ß • a*ß . . . a»>ß

CC-" + mß t

CO

2. Wenn ß ~ ^ v ß (in diesem Falle existiert wegen der Quasivoll-

r= 1

ständigkeit von ß entweder eine steigende Fundamentalreihe v x , v a , .. ., sodaß v ß für jedes a Vollelemente enthaltenden wohlgeordneten Speziesentspricht, oder ein m, so daß v ß für v > m immer ausschließlichNullelemente enthaltenden wohlgeordneten Spezies entspricht), so istaß ^ + iß + = lim (Xiß + iß + ■■■ + v ß.

V

Beide Sätze sind offenbar erfüllt, wenn ß den Erzeugungswert einerUrspezies darstellt. Bei ihrem (ja gleichzeitig für die Ausschnitte undReste von ß gültigen) Beweise dürfen wir mithin ihre Gültigkeit für diekonstruktiven Unter werte erster Ordnung von ß, sowie für deren Aus-schnitte und Reste voraussetzen.

Sei also erstens ß = ß 1 + /? 2 + ... + ß n auf Grund der ersten er-zeugenden Operation und sei ß ~ ß + ß + ... + m ß ■ Wir können es nunso einrichten, daß

ß v ~ß {r *-i +1) + ß^-i + 2) + ...+ß^ (*=1,2 r 0 — 0; r v+1 >r v );r ß = ß lh *-i + 1) + ... + ß {h * ) bzw. *-ß lK)

(v = 1, 2, .. m\ ä 0 = 0; Ti r > h v - 1 + 1 bzw. = A,,_i + 1).

Alsdann ist aß ~ aß'-aß*... aß» ~ aß' -aß" ... ~ a>ß -a*ß ... a m ß.Sei zweitens ß = ß 1 -f- ß 2 + ... + ß n auf Grund der ersten erzeugen-den Operation und sei ß ~ ß -f- ß + s ß + ... . Wir können es nun soeinrichten, daß

ß r ~ß< r '-i +1 > + ß<'-i+V+ ...i +ßW (»== 1, 2,— 1; ro = 0; r v+1 >r v )-,