466 L- E. J. Brouwer.

ß n <, ß (r n-l +l) + j g"'»-l + 2 > + . . . ; r ß = ß<K-l+V _|_ 0«,-!+» _j_ . . . ß<K)bzw. +—ß {hy) (v = 1, 2, 3, .. h 0 == 0; h v > A„_i + 1 bzw. = h r - i + 1).

Alsdann ist aft+Ai+-+/'»-i ^aß'-aß" . . . ~ aß' + ß" + ••• +/? <r "- l) ;

#/5« ^ li m ß/ ?(r " _1+1 *+ +/S <r »-i + <" ) . K ß ccßi+ ■••+ß* '-1 ■ a' 5 » ~ lim aß' + - +/S (r "- 1 ' ..^i p »-.+i) + ...+/j(r»-i + A«)^ / lim a /î'+^"+... + l 8( I )^li ma ^ + J M... + ^.

r V

00

Sei drittens ß = ^ auf Grund der zweiten erzeugenden Operation

r=l

und sei ~ ,/5 + „/3-|- ... + „,/?• Wir können es nun so einrichten, daßy Jr ^^- 1 + 1) _ h/3 ( r,- 1 + 2) + ii-+iö (M ( y = 1)2 , ... ; r 0 = 0; r„ +1 >r„);r ß = ß">v-i +1) + . . . + 0 ( *»> bzw. (*=1, 2, ..., m - 1; & o = 0;

Ä„>A,-i + 1 bzw. =^_ 1 + 1); m/ 5 = j 8 (A "- 1 + 1) + / 5 (ÄM - 1+2> +.

Alsdann ist = lim «A + & + ■■•+&. ~ (wie oben unter erstens be-

V

wiesen wurde)

lim a £' + £" + ••• + / ?(r » ,) lim aß' + ß" + ---+ß {fl) ^ K /S' +/S" +... +/3' Äm - 1 '.

V fl

■Hm ß/ j(Ä '"- 1 + 1) + --+^ (A " , - 1 + r) ~ß^.o;^ ... . U mß.

X

CO

Sei viertens ß = J>¡ ß r auf Grund der zweiten erzeugenden Operation

V = 1

und sei ß ~ t ß -f- 2 /? + s ß + ... . Wir können es nun so einrichten, daß/? r ~y3 (r - 1+1) +/? (r "- 1+2) +... + j ß (r " ) (»=1,2,...; r 0 = 0; r y+1 >r„);,yS = _j_ . . t _j_ ß»r) bzw. — ß (K) (» = 1,2,3,...; h 0 = 0;

h,. > hy-i + 1 bzw. == h v -t + 1).

Alsdann ist aß = lim aA + & + + ßv <-w (wie oben unter erstens be-

V

wiesen wurde)

lim aß' +ß"+ ■■■ +ß^ v) lim aß' + ß" + ••• +

V fl

~ lim «</?'+••• +/? (,i ' ) ) + ( í 8 ( ^+ 1 ' + ... + ß Ul *h +... + (^< A r-i+ 1 > +... + p(Kh

r

= lim «1^ + ^+ +iß .

z

Nachdem hiermit die Sätze 1 und 2 hergeleitet sind, sind wir in derLage, das nachstehende Theorem auszusprechen:

Wenn ß und ß° gleichwertig sind, dann sind auch aß und aß 0 gleich-wertig.

Diese Eigenschaft ergibt sich leicht mittels der induktiven Methodean der Hand der Erzeugung von ß. Nehmen wir nämlich an, daß sie fürjeden konstruktiven Unterwert ß v von ß bewiesen ist, und sei ß,, einmit ß v gleichwertiger Ausschnitt bzw. Eest von ß°, so daß also a Pv und c¿ /; °