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L. E. J. Brouwer.

zu Null-Urspezies gehöriger Erzeugungswert ist, haben wir nach dem Obigen,daß aP mit inhaltsgleich ist, was wir auch wie folgt ausdrücken können:

Ist a ein basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert der Ordnungs-zahl a und ß ein quasi-vollständiger Erzeugungswert der Ordnungszahl b,dann ist aP ein basierter quasi-vollständiger Erzeugungswert der Ord-nungszahl a b .

§ 4. Unter den Ordnungszahlen des zweiten Bereichs vom Grade Nullverstehen wir die Ordnungszahlen des ersten Bereichs. Unter den Ord-nungszahlen des zweiten Bereichs vom Grade p (p eine nicht verschwin-dende natürliche Zahl) verstehen wir die Ordnungszahlen

œ Vi -a 1 oj p =-a 2 + • • • + co p »-a n >

wo n und die a,, nichtverschwindende natürliche Zahlen sind und die p vnatürliche Zahlen (unter denen auch 0 vorkommen kann, in welchem Fallco° = 1 ist), deren größte gleich p ist. Offenbar dürfen wir annehmen,daß p v+1 > p v (v — 1, 2, .n — 1).

Unter einer Spezies des zweiten Bereichs vom Grade p verstehen wireine (vollständige oder quasi-vollständige) wohlgeordnete Spezies, welcheeine Ordnungszahl des zweiten Bereichs vom Grade p besitzt 4 ).

Offenbar ist jede Spezies des zweiten Bereichs, deren Ordnungszahlvon Null verschieden ist, kondensiert.

Wie man leicht einsieht, sind zwei beliebige Ordnungszahlen deszweiten Bereichs vergleichbar und besitzen, wenn sie voneinander undvon Null verschieden sind, eine gleichfalls zum zweiten Bereich gehörendeDifferenz.

Die ordnungsgemäße Summe endlichvieler Ordnungszahlen des zweitenBereichs ist wiederum eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs.

Aus der Formel

((o Vi -a 1 -f- co P2 -a 3 + co Pn -a n ) co - œ Vi -a i -co = œ Vi -(a 1 -œ) — co Pi+1

4 ) Eine wohlgeordnete Spezies der Ordnungszahl w Vi -a 1 + w v -- a 2 + ... -\-co Vn -a nkönnen wir erzeugen durch Addition einer — vollständigen oder quasi-vollständigen —wohlgeordneten Spezies der Ordnungszahl co Pl -a 1 (welche wir ihrerseits herstellenkönnen durch Multiplikation von + 1 elementefremden — vollständigen oder quasi-vollständigen — wohlgeoidneten Spezies, von denen die ersten p x die Ordnungszahl««und die letzte die Ordnungszahl a L besitzt), einer — vollständigen oder quasi-voll-ständigen — wohlgeordneten Spezies der Ordnungszahl co P2 -a 2 , . .., und einer — voll-ständigen oder quasi-vollständigen — wohlgeordneten Spezies der Ordnungszahlc o v "-a n . Diese Erzeugungsweise von Spezies des zweiten Bereichs ist indes keines-wegs die einzige, wie man schon für die Ordnungszahl co 2 durch einfache Beispielebelegen kann.