Intuitionistische Mathematik. III.

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geht hervor, daß die Multiplikation einer Ordnungszahl des zweiten Be-reichs mit einem rechtsseitigen Multiplikator m , mithin auch mit einemrechtsseitigen Multiplikator œ p , mithin auch mit einem beliebigen, eineOrdnungszahl des zweiten Bereichs darstellenden rechtsseitigen Multiplikator,wiederum eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs ist. Hieraus folgt, daßallgemein das Produkt endlichvieler Ordnungszahlen des zweiten Bereichswiederum eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs ist.

Eine Fundamentalreihe von Ordnungszahlen des zweiten

Bereichs heißt induziert in bezug auf den zweiten Bereich, wenn einesolche steigende Fundamentalreihe v^v^, ... existiert, daß die Grade vonß Vi , ... entweder beständig wachsen oder einander gleich sind, währendfür m zwischen v n und v n + 1 der Grad von ß m kleiner ist als der Gradvon ß Vn+1 , und, falls die ß Vn vom Grade Null sind, die Fundamentalreiheß r t ß Vl +i, ßv>+2, ... in bezug auf den ersten Bereich induziert ist.

Wenn wir die ordnungsgemäße Summe einer in bezug auf den zweitenBereich induzierten Fundamentalreihe von Ordnungszahlen des zweiten Be-reichs mittels der ordnungsgemäßen Summe entsprechender vollständigerbzw. aus nur einem einzigen Nullelement bestehender wohlgeordneter Speziesdefinieren, dann erweist sich diese Summe wiederum als eine Ordnungs-zahl, und zwar ist dieselbe entweder gleich co m oder gehört wiederum•dem zweiten Bereich an.

Wir formulieren jetzt eine Reihe von sechs Eigenschaften:

1. Zu einer beliebigen von Null verschiedenen Ordnungszahl des zweitenBereichs gehört sicher ein vollständiger Erzeugungswert, der vollständiginduziert in bezug auf den zweiten Bereich ist, d. h. dessen konstruktiveUnterwerte alle Ordnungszahlen des zweiten Bereichs besitzen, und fürden bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation die betref-fende Fundamentalreihe von Ordnungszahlen in bezug auf den zweiten Be-reich induziert ist.

2. Eine beliebige von Null verschiedene Ordnungszahl des zweitenBereichs, deren letzter Exponent von Null verschieden ist, ist gleich derordnungsgemäßen Summe einer in bezug auf den zweiten Bereich indu-zierten Fundamentalreihe von nichtverschwindenden Ordnungszahlen deszweiten Bereichs.

3. Jeder Abschnitt (also auch jeder Rest und jeder Ausschnitt) einerOrdnungszahl des zweiten Bereichs ist wiederum eine Ordnungszahl deszweiten Bereichs (so daß der zweite, ebenso wie der erste Bereich derOrdnungszahlen ununterbrochen ist).

Diese Eigenschaft braucht nur für eine beliebige von Null verschie-dene Ordnungszahl des zweiten Bereichs ß bewiesen zu werden. Sie ergibt