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L. E. J. Brouwer.

sich mittels der induktiven Methode an der Hand der Erzeugung eines (aufGrund der Eigenschaft 1 existierenden) zu ß gehörigen vollständigen undin bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierten Erzeugungswertes.

4. Eine Fundamentalreihe a v a 2 , ... von Ordnungszahlen des zweitenBereichs, deren (in der im vorigen schon mehrfach angegebenen Weise de-finierte) ordnungsgemäße Summe entweder eine Ordnungszahl des zweitenBereichs oder die Ordnungszahl <xt a ist, ist induziert in bezug auf denzweiten Bereich.

Im ersten Falle dürfen wir, weil die ordnungsgemäße Summe vonßj, ß 2 , ... voraussetzungsgemäß quasi-vollständigen wohlgeordneten Speziesentspricht, und mithin feststeht, entweder daß nur endlichviele, oder daß>abzählbarunendlichviele nichtverschwindende a r existieren, annehmen, daß>das letztere der Fall ist. Weiter dürfen wir den Beweis beschränkenauf den Fall a = co p , wo p = q -f- 1 und q nicht verschwindet, mithina = lim co q -n ( n eine unbeschränkt wachsende natürliche Zahl). Alsdanngibt es ein kleinstes q 1 , zu dem ein solches v 1 > 0 bestimmt werdenkann, daß m 1 -(v 1 + 1) > + S + • • • + ^ W-v ¡ ; ein kleinstes g^ yzu dem ein solches v 2 > v 1 bestimmt werden kann, daß -f- 1) > a 1 +

+ a a + ... + a et ^ co Q 'V^; ein kleinstes g 3 , zu dem ein solches v 3 > v 2bestimmt werden kann, daß œ q -(v s -f 1) > a 1 -f- a 2 -f- ... -)- a e¡ ^ u> q -v 3 - yusw. Die Exponenten der Anfangsglieder von a 8l , a ... müssen alle gleichq sein, während für m zwischen g n und £> n + 1 die Exponenten von a mkleiner als q sind. Mithin ist die Fundamentalreihe cc 1 , « 2 , a s , .. . indu-ziert in bezug auf den zweiten Bereich.

Im zweiten Falle ist die Ordnungszahl a 1 + « 2 + cc 3 + • • • gleich derOrdnungszahl co + co 2 -)-cü 3 -)-... und gibt es ein kleinstes g x , zu demein solches > 0 bestimmt werden kann, daß <x> ri+ ' i > a x + k 3 + ...+ tt ei ^ a>v '' e ^ n kleinstes g 2 , zu dem ein solches r 3 > r 1 bestimmt werdenkann, daß co r * +1 > a x -f- « 2 -|- ... + ein kleinstes g 3 , zu dem

ein solches v 3 > v a bestimmt werden kann, daß co v * +1 > + a 2 + ...+ ß es = cw ' s » usvv - Die Grade von a ej , a et , ... müssen beständig wachsen,,während für m zwischen g n und g n + 1 der Grad von a m kleiner ist alsder Grad von a en+l . Mithin ist die Fundamentalreihe cc v a 8 , ... indu-ziert in bezug auf den zweiten Bereich.

5. Wenn ß v ß 2 , ß 3 , .. . eine Fundamentalreihe von Ordnungszahlen ist,welche mit der in bezug auf den zweiten Bereich induzierten Fundamental-reihe etj, a ä , ... von Ordnungszahlen des zweiten Bereichs additiv-zusammen-gehörig ist (d. h. daß zu jedem v ein solches /u gefunden werden kann,,daß -f- ß 0 -)- ... -)- ßp > «i + -)- ... -f- a,., und zu jedem g ein solches a ydaß a x -(- ß 2 -j- ... -f- ci a > ß x -f- /? 2 + • • • + ß e ), so gehört auch jedes ß v zum