Intuitionistische Mathematik. III.
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zweiten Bereich und ist die Fundamentalreihe ß v ß„, ß 3 , .. . in bezug aufden zweiten Bereich induziert.
Diese Eigenschaft ist eine unmittelbare Folge der Eigenschaften 3und 4'.
6. Ein beliebiger zu einer Ordnungszahl des zweiten Bereichs gehörigerErzeugungswert ist vollständig induziert in bezug auf den zweiten Bereich.
Für einen vollständigen Erzeugungswert folgt diese Eigenschaft un-mittelbar aus den Eigenschaften 3 und 4. Um sie für einen quasi-voll-ständigen Erzeugungswert (dessen Ordnungszahl wir als nichtverschwin-dend voraussetzen dürfen) herzuleiten, genügt es, denselben zum ent-sprechenden vollständigen Erzeugungswert in Beziehung zu setzen.
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt unbestimmt zerlegt in bezug aufden zweiten Bereich, wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallen-den) Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest F regulär zerlegtwerden kann, daß jeder Rest von F' entweder aus lauter Nullelementenbesteht oder einen mit co m inhaltsgleichen Anfangsteil besitzt, und F" miteiner Spezies des zweiten Bereichs inhaltsgleich ist (ohne deshalb not-wendigerweise eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs besitzen zu müssen).
Eine in bezug auf den zweiten Bereich unbestimmt zerlegte wohlge-ordnete Spezies F braucht — schon im Falle, daß F" mit F identischund mit der Ordnungszahl co inhaltsgleich ist — nicht notwendig unbe-stimmt zerlegt in bezug auf den ersten Bereich zu sein, wie aus folgen-dem Beispiel hervorgeht: Es sei F r für v < k 1 und G v für v ¡> k x eineVoll-Urspezies; F r für v^.k 1 und G v für v < k 1 eine Null-Urspezies;F— (F 1 + -F 2 + • • •) + (®i + ö 9 +•• • •)•
Ebensowenig ist eine in bezug auf den ersten Bereich unbestimmtzerlegte wohlgeordnete Spezies G notwendigerweise unbestimmt zerlegt inbezug auf den zweiten Bereich, wie folgendes Beispiel zeigt: Es sei G veine vollständige wohlgeordnete Spezies, welche für v < k 1 die Ordnungs-zahl co v , für v ^ k 1 die Ordnungszahl co k ' besitzt, und es sei G = G í ++ ö 8 + - •. •
Eine wohlgeordnete Spezies F heißt scharf zerlegt in bezug auf denzweiten Bereich , wenn sie in solcher Weise in einen (evtl. fortfallenden)Abschnitt F' und einen (evtl. fortfallenden) Rest ^"regulär zerlegt werdenkann, daß jeder Rest von F' entweder aus lauter Nullelementen besteht,oder die Ordnungszahl co™ oder einen Abschnitt der Ordnungszahl co co be-sitzt, und F" eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs besitzt (hierbeikönnen wir, ohne der wohlgeordneten Spezies F eine weitere Einschränkungaufzuerlegen, überdies fordern, daß F' entweder in Fortfall kommt, oderwenigstens ein Vollelement enthält).