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L. E. J. Brouwer.

Eine in bezug auf den zweiten Bereich, scharf zerlegte wohlgeordneteSpezies ist ebenfalls scharf zerlegt in bezug auf den ersten Bereich. Nachdem obigen Beispiel G = G t -f- G. 2 + G 3 + • • -, wo G r eine vollständigewohlgeordnete Spezies der Ordnungszahl co v bzw. m ki vorstellt, ist abereine in bezug auf den ersten Bereich scharf zerlegte wohlgeordnete Speziesnicht notwendig scharf zerlegt in bezug auf den zweiten Bereich.

Von einer in bezug auf den zweiten Bereich scharf zerlegten wohl-geordneten Spezies ist nicht notwendig auch jede konstruktive Unterspeziesin bezug auf den zweiten Bereich scharf zerlegt, wie wir aus folgendemBeispiel ersehen: Es besitze G v für v k 1 die Ordnungszahl co®, für v > lc 1die Ordnungszahl eo; H v für jedes v die Ordnungszahl co r ; und es seiG = G 1 + G 2 -j- ... ; H — H 1 + + ... ; F — G + H. Alsdann ist F scharfzerlegt in bezug auf den zweiten Bereich; die konstruktive UnterspeziesG von F dagegen ist weder scharf, noch unbestimmt zerlegt in bezug aufden zweiten Bereich.

Eine wohlgeordnete Spezies F heißt vollständig induziert in bezugauf den zweiten Bereich , wenn während ihrer Erzeugung bei jeder durcheine Formel F 0 = F^ -j- F^ -|- F s + ... ausgedrückten Anwendung der zweitenerzeugenden Operation, wo jedes F v nach der Formel F v <<_, F v -f- F r inbezug auf den zweiten Bereich scharf zerlegt ist, die betreffende Funda-mentalreihe F t , F„, F s ,... in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist,d. h. erstens entweder eine unbeschränkt wachsende Fundamentalreihev i> > v a ' • • • existiert, so daß jedes F Va Vollelemente besitzt, oder ein solchesm angegeben werden kann, daß F' v für v > m aus lauter Nullelementenbesteht bzw. fortfällt, zweitens im letzteren Falle die Fundamentalreiheder Ordnungszahlen von F 1 , J2, F3, ... ( wobei wir einem fortfallendenFr die Ordnungszahl Null zusprechen) in bezug auf den zweiten Bereichinduziert ist. Demzufolge ist dann jedesmal auch F 0 in bezug auf denzweiten Bereich scharf zerlegt.

Sei ein Element der in bezug auf den zweiten Bereich voll-

ständig induzierten wohlgeordneten Spezies F. Der Keihe nach ergibt sich,daß dieses Element in F^... im _ 1} in ..., in F i¡Í2 , in F u und

in F je einen Abschnitt und einen Rest bestimmt, die in bezug auf denzweiten Bereich gleichfalls vollständig induziert sind. Mithin haben wirden Satz, daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf denzweiten Bereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies F gleich-falls in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert ist.

Eine in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierte wohl-geordnete Spezies F ist offenbar scharf zerlegt in bezug auf den zweitenBereich, weiter quasi-vollständig und, wie wir mittels der induktiven Me-thode ersehen, auch in bezug auf den ersten Bereich vollständig induziert.