Intuitionistische Mathematik. III.

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Schreiben wir, der scharfen Zerlegbarkeit von F in bezug auf den zweitenBereich entsprechend, F ^ F' -\- F", so besitzt die wohlgeordnete Spezies F',wenn sie nicht fortfällt, entweder einen Rest der Ordnungszahl cd m , oderalle nichtverschwindenden Ordnungszahlen von Resten von F' sind größer

als co a> .

Sei F eine in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziertewohlgeordnete Spezies, welche mit der ordnungsgemäßen Summe einerFundamentalreihe F 1 , F 2 , ... von in bezug auf den zweiten Bereich scharfzerlegten wohlgeordneten Spezies gleichwertig ist. Wir wollen beweisen,daß die Fundamentalreihe F x , F„, ... in bezug auf den zweiten Bereichinduziert ist, und bemerken dazu zunächst, daß für die wohlgeordneteSpezies F, eben weil sie in bezug auf den zweiten Bereich vollständiginduziert ist, eine der drei folgenden Eigenschaften bestehen muß: ent-weder F besitzt einen Rest mit einer Ordnungszahl des zweiten Bereichs(die auch Null sein kann), oder von einem gewissen Reste von F besitztjeder Rest die Ordnungszahl œ w , oder aber jeder Rest von F besitzt eineOrdnungszahl >co to . Diese drei Fälle behandeln wir der Reihe nach.

Erster Fall. F besitzt einen Rest F° mit- einer Ordnungszahl deszweiten Bereichs. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigenRest F mi , daß die ordnungsgemäße Summe der FundamentalreiheF m + is F m +2, ••• mit F u gleichwertig ist, so daß jedes Glied derletzteren Fundamentalreihe eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs besitzt,und die Fundamentalreihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungs-gemäße Summe eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs ist) in bezug aufden zweiten Bereich induziert ist. Dann aber gilt dasselbe für die Fun-damentalreihe der Ordnungszahlen von F m+i , F m+2 , ... bzw. für dieFundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m '+1, F^+ 2, • • mithin auchfür die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies F m+1 , F m+2 , ...,mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten SpeziesF F F

1 ' 2' ^3? ••• •

Zweiter Fall. Vom Reste F° von F besitzt jeder Rest die Ordnungs-zahl Co"'. Für ein bestimmtes m besitzt dann F m einen derartigen Rest F m „,daß die ordnungsgemäße Summe der Fundamentalreihe F m o, F m+ x, F m+2 , ...mit F° gleichwertig ist, so daß jedes Glied der letzteren Fundamental-reihe eine Ordnungszahl des zweiten Bereichs besitzt und die Fundamental-reihe dieser Ordnungszahlen (eben weil ihre ordnungsgemäße Summegleich co' ü ist) in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist. Dann aber giltdasselbe für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von F m+1 , F m+ 2, ...bzw. für die Fundamentalreihe der Ordnungszahlen von Fm+i, -?C+s, ■ •mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeordneten Spezies

Mathematische Annalen. 96. 31