474

L. E. J. Brouwer.

F m + 1; Fm+2, mithin auch für die Fundamentalreihe der wohlgeord-neten Spezies F t , 1%, F 3 , ... .

Dritter Fall. Jeder Rest von F besitzt eine Ordnungszahl > w"'.Zu jedem m gibt es dann ein derartiges v m , daß für einen bestimmten(eigentlichen oder uneigentlichen) Abschnitt F,? m von F,. m die ordnungs-gemäße Summe F m + F m+1 + ... + F Vm - x J r'Fy m die Ordnungszahl œ cobesitzt, so daß wenigstens eine der wohlgeordneten Spezies F m , F m+1 ,..., Fy m - 1, Fy m existiert und Vollelemente besitzt. Das heißt aber, daßes zu jedem m ein derartiges Q m ^ m, gibt, daß F e ' m existiert und Voll-elemente besitzt, so daß die Fundamentalreihe der wohlgeordneten SpeziesF 1} F<¡, F a , ... in bezug auf den zweiten Bereich induziert ist.

Kombinieren wir den hiermit bewiesenen Satz mit der Eigenschaft,daß jeder Ausschnitt sowie jeder Rest einer in bezug auf den zweitenBereich vollständig induzierten wohlgeordneten Spezies gleichfalls in bezugauf den zweiten Bereich vollständig induziert ist, so ergibt sich, daß jedemit einer in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induzierten wohl-geordneten Spezies F gleichwertige wohlgeordnete Spezies G ebenfalls inbezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert ist (und zwar mittelsder induktiven Methode an der Hand der Erzeugung von G ). Auf Grunddieser Eigenschaft bezeichnen wir eine Ordnungszahl als in bezug auf denziveiten Bereich vollständig induziert, wenn jeder zu ihr gehörige voll-ständige Erzeugungswert in bezug auf den zweiten Bereich vollständiginduziert ist.

Dann aber ist auch jeder zu ihr gehörige quasi-vollständige Er-zeugungswert in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert.Sei nämlich ß ein solcher quasi-vollständiger Erzeugungswert, daß derentsprechende vollständige Erzeugungswert a in bezug auf den zweitenBereich vollständig induziert ist. Jeder durch eine Formel a T « r ' -j- a"ausgedrückten scharfen Zerlegung in bezug auf den zweiten Bereich eineskonstruktiven Unterwertes a T von a entspricht dann eine durch eine Formelßz ~ ßz + ßz ausgedrückte scharfe Zerlegung in bezug auf den zweitenBereich des entsprechenden konstruktiven Unterwertes ß T von ß (welcheleicht eindeutig festgelegt werden kann, z. B. durch die Forderung, daß,wenn ß[ nicht fortfällt, jeder Rest von ß[ Vollelemente aufweisen soll).Auf Grund dieser scharfen Zerlegungen seiner konstruktiven Unterwerteaber stellt sich ß an der Hand seiner mit a parallelen Erzeugung un-mittelbar als in bezug auf den zweiten Bereich vollständig induziert heraus.

§ 5. Unter den Ordnungszahlen des dritten Bereichs vom Range Nullverstehen wir die Ordnungszahlen des zweiten Bereichs. Unter den Ord-