Intuitionistische Mathematik. III.

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nungszahlen des dritten Bereichs vom Range 1 verstehen wir die Ordnungs-zahlen

m Vl - a y + ... -fco v "-a n ,

wo n und die a r nichtverschwindende natürliche Zahlen sind und diep v Ordnungszahlen des zweiten Bereichs, deren Maximalgrad nicht ver-schwindet. Unter den Ordnungszahlen des dritten Bereichs vom Rangep + 1 verstehen wir die Ordnungszahlen

co Pl - ctx + • •• +

wo n und die a v nichtverschwindende natürliche Zahlen sind und diep v Ordnungszahlen des dritten Bereichs vom Maximalrange p.

Unter einer Spezies des dritten Bereichs vom Range p verstehen wireine (vollständige oder quasi-vollständige) wohlgeordnete Spezies, welcheeine Ordnungszahl des dritten Bereichs vom Range p besitzt.

Offenbar ist jede Spezies des dritten Bereichs, deren Ordnungszahlvon Null verschieden ist, kondensiert.

Es gelten folgende zwei Eigenschaften:

1. Je zwei Ordnungszahlen des dritten Bereichs sind vergleichbar undbesitzen, wenn sie voneinander und von Null verschieden sind, eine gleich-falls zum dritten Bereich gehörende Differenz.

2. Bei der Ordnungszahl co Vl - a 1 + ... co Vn - a n darf man annehmen,daß jedes p v+1 < p v ist.

Diese Sätze begründen wir, indem wir den ersten für Zahlen, derenRang < p ist, mithin den zweiten für Zahlen, deren Rang ^ p ist, alsbewiesen annehmen, und hieraus die Gültigkeit des ersten für Zahlen,deren Rang ^ p ist, folgern. Hierzu bemerken wir zunächst, daß wirfür zwei Zahlen q und a, deren Rang < p ist, aus q < o die Formelcü" = co e + co a folgern dürfen, und nennen sodann für eine Zahl desdritten Bereichs co Vl • a 1 + ... -|- w Vn -a n den Exponenten p h das (2 h — l)-teBestimmungselement und den Koeffizienten a h das 2h -te Bestimmungs-element. Unter diesen Voraussetzungen wird von zwei Zahlen, derenRang p ist, diejenige als die größere erkannt, von der das erste Be-stimmungselement, das nicht für beide Zahlen gleich ist, das größere ist,während als Differenz der beiden Zahlen wiederum eine Zahl des Rangesp auftritt.

Die ordnungsgemäße Summe endlichvieler Ordnungszahlen des drittenBereichs ist wiederum eine Ordnungszahl des dritten Bereichs.

n

Es seien yjco Pv -a v und co p , wo weder a 1 noch p verschwindet, zwei

V— l

Zahlen des dritten Bereichs. Indem wir p=\-\-q, mithin (o p — co-a> q

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