476 L. E. J. Brouwer.

setzen, ersehen wir, daß co p sich mittels der beiden erzeugenden Opera-tionen aus Urzahlen a> herstellen läßt. An der Hand dieser Konstruktionvon co p können wir nun die Formel

I y, m p '-a r ! • w v = co v¡ -co pur=l J

mittels der induktiven Methode beweisen, und zwar auf Grund der Tat-sachen, daß

r n -i

w Vr •dyl-co — co p '■ co ;

L r _i J

daß für ß = + /? 2 + ... + ß m auf Grund der ersten erzeugenden Opera-tion, aus

2¡co p "-a v ] •ß l = a!>«•»•&; [ j> Pv -ed -ß % = co^-ß^;

V=l - 1 V — 1 J

folgt

\2Jw p "-a v \ .ß m = co p >-ß„

L V=1

[j> p "-a„] -ß= co p '-ß;

und daß für ß = JJ ß fl auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, aus

/'=i

folgt

[ 2 m Pr -a,.} -ß u = w p *-ß fi für jedes) : 1 J

\¿co Pv -a„] .ß = m p >-ß.L r _i J

Es seien nun und ¿ oj^-b^ + b m+í , wo a 1 , b m+ 1 und

V = 1 fX — 1

die q, t nicht verschwinden, zwei Zahlen des dritten Bereichs. Alsdann istdas Produkt

gleich

r n -i r 7Yb

\2co p *-a v • E^'b fi + b m+ !

V—1 J 1 u=1

on r n -i r 71 i

2 \ 2œ v *-a r \(o q > i -b tl + \ 2m Vr -a r \-b„^ =

(i = l *-v=l ^ ^-v = l

m +1

n

= 2 <o Vl+Qu -bu + a) p ^(a 1 b m+1 ) + ¿ , co p "-a,..

v—2

Mithin ist das Produkt von zwei, also auch allgemein von endlich-vielen Ordnungszahlen des dritten Bereichs wiederum eine Ordnungszahldes dritten Bereichs.