P. Alexandroff. Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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V. Stetige Kurven

§§42-64

Begriff des offenen Bogenkomplexes . . . §§45 — 46Struktur der endlich hoch zusammenhängen-den stetigen Kurven §§42 — 44, 47 — 60

Weitere Eigenschaften dieser Kurven. Eininvariantes Analogon dec SchoenfliessehenUmkehrung des Jordanschen Kurven-satzes §§60 — 62

Unendlich hoch zusammenhängende stetige

1. Wir denken uns zuerst eine aus endlich vielen Bögen gebildete,im gewöhnlichen dreidimensionalen Räume R 3 liegende Kurve L. ZweiBögen haben dabei natürlich keinen von ihren Endpunkten verschiedenengemeinsamen Punkt und jeder von ihnen ist etwa als ein einfacherStreckenzug zu denken. Vom Standpunkte der kombinatorischen Topo-logie aus kann L offenbar als ein zusammenhängender Streckenkomplexaufgefaßt werden. Aber auch umgekehrt kann bekanntlich jeder abstraktgegebene zusammenhängende Streckenkomplex als eine in R 3 liegendeKurve L von der soeben beschriebenen Art interpretiert werden.

Um sprachliche Mißverständnisse zu vermeiden werden wir von Bogen -komplexen (statt 5¿ra;&e?ikomplexen) sprechen: das Wort „Strecke" sollnämlich nur für geometrisch gegebene im Euklidischen Räume liegendegeradlinige Strecken gebraucht werden. Falls wir also im dreidimensio-nalen Räume eine geometrische Realisation eines gegebenen (eindimensio-nalen) Komplexes vor uns haben, so besteht jeder Bogen dieses (geo-metrisch realisierten) Komplexes aus endlich vielen Strecken.

2. Die Kurven der soeben erwähnten Art und die ihnen homöomorphenKontinua sind Linien im elementaren, nicht einmal mathematischen Sinnedes Wortes und können etwa mit Hilfe eines Fadens mit endlich vielenZusammenheftungen materiell dargestellt werden. Nun scheint eine derwichtigsten und gleichzeitig anschaulichsten topologischen Invarianten dieserLinien diejenige zu sein, die die Zahl der eventuell auftretenden „Schlingen",das heißt z. B. die Zahl der verschiedenen Möglichkeiten, den Faden aufeinen Haken zu hängen, angibt.

Mathematisch ausgedrückt handelt es sich um die größte Zahl s = s (L)von der Art, daß es ein System von s einjachen geschlossenen, in L ent-haltenen Polygonen

Kurven

§§ 63-64

I. Zusammenhängende eindimensionale Komplexe.

(1)

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