514

P. Alexandroff.

gibt, zu dem sich ein ebenfalls aus s zu L fremden Polygonen(2) i7 1 , 77 3 , .. IJ S

bestehendes System so bestimmen läßt, daß für jedes m (1 <Lm<Ls)II m mit P m und mit keinem der Polygone P 1 , P. 2 , ..P m _ 1 , P m+1 , ■.P sverschlungen 2 ) ist. Die ganze Konstruktion ist dabei selbstverständlichim dreidimensionalen Räume zu denken. Es sei noch ein für allemalbemerkt, daß wir (falls nichts anderes ausdrücklich formuliert ist) stetsunter einer Verschlingung zweier Polygone eine Verschlingung von derOrdnung 1 verstehen.

3. Bei der Bestimmung der Zahl s(L) haben wir vorausgesetzt, daßdie Polygone P 1 , P„, .. ., P, (ebenso wie 77 1 , 77 2 , . .., 77J einfache ge-schlossene Polygone sind. Nun kann man eine analoge Zahl s'(L) de-finieren, indem man die Forderung der Einfachheit der Polygone P l , P 2 ,.. ., P.fallen läßt. Offenbar ist s(L) s'(L); wir werden aber bald beweisen,daß s(L) = s'(L) ist.

4. Man kann jeden zusammenhängenden Komplex 3 ) L auf folgende,wie wir sie nennen wollen, normale Weise konstruieren.

Wir fangen mit einem beliebigen, in L enthaltenen Bogen S 1 anund bezeichnen durch L a den aus dem einzigen Bogen bestehenden,zusammenhängenden in L enthaltenen Komplex. Falls der aus m Bögenbestehende, in L enthaltene zusammenhängende Komplex L m schon kon-struiert ist, bezeichnen wir durch $ m+1 irgendeinen in L, jedoch nichtin L m enthaltenen Bogen, der mit L m wenigstens einen Endpunkt gemein-sam hat, und setzen

A b+I m L v, + $»n+i-

L m + i ist wieder zusammenhängend. Das Verfahren bricht erst ab, wennwir zu einem mit L identischen Komplex L r gelangen; r ist dann dieAnzahl der den Komplex L bildenden Bögen.

Nun können bei jedem Schritte m dieser Konstruktion zwei Fälleauftreten, je nachdem einer oder beide Endpunkte von S m+1 zu L m ge-hören. Wir bezeichnen durch p(L) die Anzahl derjenigen Schritte m(m = l,2,...,r — 1), bei denen der zweite Fall vorkommt.

5. Die Bezeichnung p(L) soll durch den Beweis der Unabhängigkeitder Zahl p(L) von der Wahl der einzelnen normalen Konstruktionsweisen

") Brouwer, On looping coefficients, Proceedings Koninklijke Akademie vanWeten-

schappen Amsterdam 15 (1912), S. 113—122.

3 ) Falls die Dimension nicht angegeben ist, soll das Wort „Komplex", stetseinen eindimensionalen (d. h. einen Bogenkomplex) bedeuten.