Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

515

rechtfertigt werden. Dazu genügt es aber, folgende (u. a. auch die Be-hauptung des § 3 enthaltende) grundlegende Identität

(3) S (L) = p(L) — s' (L)

zu bestätigen. Falls L aus einem einzigen Bogen besteht, ist

s{L)=s'(L)=p{L) = 0,

also (3) gewiß richtig. Wir setzen voraus, (3) wäre für alle aus <[ r — 1Bögen bestehende Komplexe bewiesen, und wollen den betreffenden Beweisfür einen beliebigen aus r Bögen bestehenden Komplex L erbringen.

Bs seien also die Komplexe( 4 ) j • ■ • ) L r _ j, L r L

unter der Bedingung

(5) L m+1 = L m + S m + i, L 1 = S 1 (1 <¡ m r — 1)gegeben.

Wir bezeichnen durch s' m = s m = p m , 1 m <íj r — 1, die einandergleichen Zahlen s'(L m ), s(L m ), p(L m ), durch s' bzw. s die Zahl s' (L)bzw. s(L), und endlich durch p die der normalen Konstruktionsweise (4)entsprechende Zahl p(L).

Es handelt sich um den Beweis der Identität

(6) s' = p — s .

Indem wir in (5) m — r — 1 setzen, haben wir zwei Fälle zu unter-scheiden :

a) Es gibt nur einen zu L r _ 1 gehörenden Endpunkt von S r . Dannist, wie leicht ersichtlich, P = P r ^ 1 > s = s r _ 1 , s'=s r _ 1 , und alsos' — p = s .

b) Beide Endpunkte von S r gehören zu L r _ 1 . In diesem Falle istp = p r - 1 - t"l> un d wir müssen nur beweisen, daß s'=s r -i + 1 = s ist.

Zuerst beweisen wir, daß

(7) s'^s^ + l

ist. Im entgegengesetzten Falle würde es sicher s r _ 1 -(-2 = i verschiedene(im allgemeinen nicht singularitätenfreie) Polygone

(B)

geben, zu denen die die Verschlingungsvorschriften des § 2 erfüllendenPolygone

(9) n x ,n„...,n t

angebbar sind.