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P. Alexandroff.

Wenigstens zwei der Polygone (8), es seien P t und P t _ lt enthaltenden Bogen S r (weil sonst wenigstens t — 1 = sf-i + 1 Polygone (8) imWiderspruch mit der Definition der Zahl s r '_ l5 in L r ^ 1 enthalten wären).

Zufolge unserer Voraussetzungen kann man zwei bzw. durch P t _ 1 und P fbegrenzte (im allgemeinen sowohl Selbstdurchdringungen, als durch even-tuelle mehrfache Elemente ihrer Begrenzungen hervorgerufene Singulari-täten besitzende) Flächenstücke D t _ x bzw. D t derart wählen, daß diealgebraische Anzahl ihrer Schnittpunkte mit IJ t _ 1 bzw. ü ( gleich 1, mitTI t bzw. IT t _ 1 dagegen gleich Null ist. Daraus folgt, daß jedes der Poly-gone H i _ 1 und Il t , von denen wir das eine durch II 0 bezeichnen, mit demD t + D % begrenzenden, aus P l _ 1 -\- P t durch Fortlassung des Bogens S rentstandenen Polygon P 0 verschlungen ist.

P 0 ist sicher von jedem der Polygone P^, P„, .... P t _ 9 verschieden(weil sonst z. B. II t gleichzeitig mit zwei verschiedenen Polygonen (8)verschlungen wäre); das Polygonsystem

genügt also allen Bedingungen des § 2 (insbesondere sind alle P m ,0<[m<¡¿ — 2, in L r _ 1 enthalten), so daß die Zahl s'(L r _ 1 ) mindestensgleich t — 1 sein sollte, was unmöglich ist, weil sie gleich t — 2 ist.Durch diesen Widerspruch ist die Ungleichung (7) bewiesen.

6. Unser Ziel wird erreicht sein, sobald wir beweisen, daß

ist. Vorausgesetzt, es wären P i bzw. 77 i; l¿¿^s r _i, P í <= L r _ 1 , diezufolge der Identität s(L r _ 1 ) = s r _ i vorhandenen, den üblichen Bedingungengenügenden einjachen Polygone. Da beide Endpunkte von S r zum zu-sammenhängenden Komplex L r _ 1 gehören, kann man sie durch einen ein-fachen Weg W innerhalb L r _ 1 verbinden und

ist dann ein einfaches, in L r enthaltenes Polygon. Um das entsprechendeTI 0 zu erhalten braucht man nur durch den Mittelpunkt c einer der denBogen S r bildenden Strecken die zu dieser Strecke senkrecht stehende Ebenezu legen und in dieser Ebene ein hinreichend kleines den Punkt c alsMittelpunkt besitzendes Quadrat zu konstruieren. Das System aller P.bzw. TI i (0<i£r — 1) genügt dann allen nötigen Bedingungen und er-gibt die Ungleichung (10), die, zusammen mit (7) und der im § 3 er-wähnten evidenten Ungleichung s <^s' die Identität s = s'= s r _ 1 + 1= p,.- 1 J r 1 = p und folglich auch die allgemeine Identität (3) beweist.

(10)

s^s r _ 1 + l

(11)

P 0 =W+S r