Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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6 Ibis. Mail könnte die Invarianz der Zahl p(L) auch beweisen,indem man zeigt, daß

(11 bis) p(L) = l-x(L)

ist, wobei %(L) die Eulersche Charakteristik der Kurve L ist, d. h. dieDifferenz a 0 — a 1 zwischen der Anzahl cc 0 = a 0 (L) der in L enthaltenenEckpunkte und der Anzahl a x = k^ L ) der daselbst vorhandenen Bögen 4 ).

Um die Identität (11 bis) zu beweisen, schließen wir uns an die Be-zeichnungen des § 4 an und betrachten irgendeine normale Konstruktions-weise von L.

Für S 1 = L 1 ist p(L 1 ) = p(8 1 ) = 0, «„(£,) = 2, cc 1 (L 1 )=l,x(L 1 )= 1, und also stimmt für diesen Fall unsere Identität.

Wenn jetzt

J- J m + 1 ' m "I - ^m + list, so ist, falls S m + 1 mit L m beide Endpunkte gemeinsam hat,

v(L m+1 ) = p(L m ) + \-, «b(A»+i) = cc 0 (L n ); <x 1 (L m+i )^u 1 ( L m ) +1,

also x(L m+1 ) = X (LJ- 1 und 1 -x(L m+ i) = (\- Z (LJ)+ 1.

Falls aber S m+1 nur einen gemeinsamen Endpunkt mit L m hat, so ist

p( L ,n+i) = P( L m ) und x (L m + i ) = x (L m ).

Daraus folgt, daß die Identität (11 bis) für L m+1 zutrifft, sobald sie fürL m stimmt, und da sie für L x richtig ist, so gilt sie allgemein.

7. Wir gehen jetzt zu einer andern Interpretation der Zahls(L) = s'(L) über. Wir fangen mit folgender Hilfsdefinition an.

De f. I. Ein endliches System von (abstrakt gegebenen) geschlossenenPolygonen heißt ein Nullsystem, falls jeder Bogen, der zu einem Polygonedieses Systems gehört, wenigstens zweimal (in einem oder in mehrerenPolygonen dieses Systems) vorkommt.

Def. II. Ein System von geschlossenen Polygonen heißt irreduzibel,falls es kein Nullsystem enthält.

Wir bezeichnen jetzt durch v'=v'(L ) die größte Zahl von der Be-schaffenheit, daß es in L wenigstens ein aus v' Polygonen bestehendesirreduzibles System gibt.

Wir bemerken sofort, daß man eine Zahl v(L)^v'{L) erhält, wennman sich in den Definitionen I und II auf einfache Polygone beschränkt.

Wir wollen jetzt die Identität(12) r(L) = v'(L) = p(L)

beweisen.

4 ) Die Invarianz von x(L) ist z. B. bei 0. Vehlen, Cambridge Colloquium 1916,S. 7 bis 9 bewiesen.