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P. Alexandroff.

8. Wir verfahren wieder mittels Induktion: für einen aus einemeinzigen Bogen S 1 bestehenden Komplex ist v(L) = v'(L) = p(L) = 0. Wirsetzen voraus, die Identität (12) wäre für alle aus höchstens r — 1 Bögenbestehende Komplexe bereits bewiesen, und beweisen sie für einen be-liebigen aus r Bögen bestehenden Komplex L.

Da der Beweis für v' und v absolut analog ist, so bezeichnen wir imfolgenden Raisonnement durch v eine beliebige der Zahlen v' (L) bzw. v (L).

Es sei

(13) P 0 , P 1 , . . . , Pjr_ i

ein in L enthaltenes, aus v Polygonen (bzw. einfachen Polygonen) be-stehendes irreduzibles System. Es gibt wenigstens einen Bogen 8, derin (13) ein einzigesmal vorkommt, und es sei z. B. 8 <= P 0 . Nach Weg-lassung des Bogens S verwandelt sich L in einen, noch immer zusammen-hängenden, Komplex L '. Dann ist

( 14) ^(-^') — v — 1

(wobei v(L') die Zahl v(L') = v'(L') bedeutet).

In der Tat: einerseits bilden P 1 , ..., P-_ 1 ein aus v — 1 Polygonenbestehendes, in L' enthaltenes irreduzibles System, woraus folgt, daß?(L')^>?— 1 ist. Andrerseits kann aber v(L') unmöglich größer als v — 1sein, weil im letzteren Falle ein aus v Polygonen

P* p* p*

1 1 5 M) •" J r y

bestehendes, in L' enthaltenes irreduzibles System vorhanden wäre, dasdurch Hinzufügung des Polygones P 0 in ein in L enthaltenes, aus v -)- 1Polygonen bestehendes, der Definition der Zahl v widersprechendes,irreduzibles System übergehen würde. Da aber v(L') = p(L') undp(L')= p(L) — 1 ist, so folgt die Identität (12) ohne weiteres aus (14),w. z. b. w.

9. Wir geben endlich noch eine Interpretation von p(L), die, ob-wohl im folgenden nicht gebraucht, in mancher Untersuchung als nütz-lich erscheinen dürfte.

10. Ein Paar von identischen, aber verschieden orientierten Bögeneines Komplexes werden wir ein Nullpaar nennen.

Wir wollen jetzt eine Einschiebung eines Nullpaares zwischen zweiaufeinanderfolgenden Bögen eines beliebigen Polygons P und ebenso eineFortlassung aus P eines eventuell daselbst enthaltenen Nullpaares als er-laubte Abänderungen des Polygons P bezeichnen.

Wir sagen nun, daß das Polygon P sich auf ein gegebenes System ©von in L enthaltenen Polygonen zurückführen läßt, falls durch sukzessive