Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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Anwendung erlaubter Abänderungen man P in ein Polygon P* verwandelnkann, welches durch Durchlaufung gewisser Polygone

p (l) p(2) pW

1 j 1 ; ... * 1 ,

unter denen es beliebig viele identische geben darf, die aber alle zu ©gehören, konstruierbar ist.

Wir bezeichnen endlich durch /i(L) die kleinste so beschaffene Zahl,daß es ein aus ¡u,(L) in L enthaltenen Polygonen bestehendes System ©gibt, auf welches sich alle in L vorhandenen Polygone zurückführen lassen 5 ).

Wir überlassen dem Leser den leichten (mittels des wiederholt an-gewandten Induktionsverfahrens durchzuführenden) Beweis der Identität

Es sei endlich bemerkt, daß, falls L eine ebene, einen Bogenkomplexrealisierende Kurve ist, die Anzahl der zusammenhängenden Gebiete, indie L die Ebene zerlegt, gleich der Zahl p(L)~ (-1 ist. (Der Beweis istunmittelbar einleuchtend: man bediene sich der Identität p (L) = s (L)).

11. Die Zahl x(L) = p(L)-\- 1, wobei also

p(L) = s(L) = s'(L) = V (L) = v'(L) = fi(L) = a, (L) - a 0 (L) + 1 «)

ist, wollen wir die Zusammenhangszahl des Bogenkomplexes L nennen.

12. Wir schreiten jetzt zum Beweise folgenden Satzes.

Additionssatz für Bogenkomplexe. Es seien L 0 und L i zwei ge-meinsame Elemente besitzende einfach zusammenhängende ' ) Bogenkomplexeund q die Komponentenzahl des (im allgemeinen nicht zusammenhängenden)Bogenkomplexes L x ■ L 0 . Indem wir durch L den (zusammenhängenden)Bogenkomplex L 1 + L 0 bezeichnen, gilt die Identität:

*(£)§?■

Beweis. Man kann den Komplex L in der Weise aufbauen, daßman mit L 1 anfängt und dann der Beihe nach sämtliche in L 1 nicht vor-handene Bögen des Komplexes L 0 anheftet, dabei jedoch dafür sorgt, daßalle sukzessiv entstehenden Komplexe

^1 > -^2 > • • • > -^m ' • • • > = L == 1 ~"f~ 1 (^ = 2 , . . . , r)

zusammenhängend seien. Wir bezeichnen durch q m die Komponentenzahl

5 ) DieZahl /t (L) dürfte als ein kombinatorisches Äquivalent der BrouwerschenZyklosis betrachtet werden.

e ) a ± (L) bzw. cc 0 (L ) bezeichnet die Anzahl der in L vorkommenden 1- bzw.O-dimensionalen Elemente.

') Ein Bogenkomplex L soll einfach zusammenhängend heißen, falls x(L)= 1 ist.