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P. Alexandroff.

von L m -L 0 (m = 1, 2, ..., r). Unser Satz wird bewiesen, sobald wirzeigen werden, daß für jedes m (1

( 15 ) P(LJ + q m = q

ist (da letztere Gleichung für m — r in p(L) + 1 = q übergeht).

Für m, = 1 ist p[L m ) — 0 und q m = q, also (15) richtig.

Vorausgesetzt, die Gleichung (15) wäre für m bewiesen; wir wollensie für m + 1 beweisen.

Wir betrachten zwei Fälle:

1. S m hat mit L m beide Endpunkte a und b gemeinsam. Dann istV (An+i ) = V ( An) + 1 • Die Funkte a und b können aber unmöglichzu einer Komponente Q von L m - L 0 gehören, weil man sie in diesemFalle innerhalb Q <= L 0 durch einen einfachen Weg W verbinden könnte,der zusammen mit S m ein in L 0 enthaltenes geschlossenes Polygon liefernwürde, was zufolge dem einfachen Zusammenhange des Komplexes L Q un-möglich ist.

Da also S m zwei Komponenten von L m ■ L 0 verbindet, so ist die Kom-ponentenzahl q m + 1 von L m + 1 -L 0 = L m -L 0 + S m gleich q m — 1, so daßV(L m + 1 ) + q m+1 = p (LJ + q m = q ist.

2. S m hat mit L m nur einen Endpunkt gemeinsam. Dann hat S mnur mit einer Komponente von L m - L 0 einen Endpunkt gemeinsam, undes ist p{L m + 1 ) = p{L m ); q m + 1 = q m , also auch p(L m + 1 ) + q m + 1 = q,w. z. b. w.

Bemerkung. Eine auf der Hand liegende Modifikation 8 ) der soebenangewandten Methode zeigt daß, falls man auf den einfachen Zusammen-hang von L 0 und L 1 verzichtet, man jedenfalls die Ungleichung

(15 bis) x(L)^q

beweisen kann. Man könnte auch in diesem Falle einen genauen Wertfür y. (L) angeben, für unsere weiteren Zwecke aber wird die Abschätzung (2)im Falle einer höheren Zusammenhangszahl von L 0 oder L x vollkommengenügen.

II. Die Zusammenhangszahl der allgemeinen Kurven.

Nachdem wir den Begriff der Zusammenhangszahl für Bogenkomplexeeingehend untersucht haben, ist der Weg zur Übertragung dieses Begriffes

9 ) Man ersetzt die Gleichung (15) durch die Ungleichung

und bemerkt, daß im Falle 1., wie früher, p (L m + l ) = p (£„,) +1, dabei aber+ — 1 ist (weil S m jedenfalls höchstens zwei verschiedene Komponenten von

L m -L 0 verbinden kann).