Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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auf allgemeine Kurven durch die Betrachtungen der unter la ) zitierten Arbeitvon selbst und gewissermaßen eindeutig bestimmt.

13. Es sei C eine allgemeine Kurve, d. h. ein zusammenhängenderkompakter eindimensionaler metrischer Raum. Zwei Fälle sind möglich:

1 °. Für jedes das Kontinuum C definierende eindimensionale Spektrum")

(16) Li, L„, ..L m , ...

wächst x(L m ) mit m ins Unendliche; in diesem Falle soll C unendlichhoch zusammenhängend heißen, und x(C) — oo gesetzt sein.

2°. Es gibt wenigstens ein das Kontinuum C definierendes Spektrum ( 16)und eine natürliche Zahl h 0 von der Beschaffenheit, daß für unendlichviele L m

* (An) ^ K

ist. Dann gibt es eine Zahl h <^h 0 derart, daß für unendlich viele L m

*( L m) = h

ist. Indem man nur dieser Gleichung genügende L m behält, erhält manein Spektrum, für dessen sämtliche Komplexe die Zusammenhangszahldenselben endlichen Wert h annimmt.

Im Falle 2 soll C endlich hoch zusammenhängend heißen und zwarsoll die Zusammenhangszahl x{G) als die kleinste derjenigen Zahlend de-finiert werden, für die es ein das Kontinuum C definierendes Spektrumgibt, dessen sämtliche Komplexe die Zusammenhangszahl h besitzen.

14. Aus Betrachtungen der unter la ) zitierten Abhandlung ergibtsich sofo rt, daß die Zahl x(G) eine kombinatorische Eigenschaft der Kurve Causdrückt, die auch folgendermaßen definiert werden kann.

Es sei *ß (t) irgendeine (e, 2)-Uberdeckung der Kurve C, d. h. es seiein System von abgeschlossenen Mengen

(17) ^,^,...,2^,

die den Bedingungen

ZF m -=C, à(F m )<e (für m= 1, 2, ..., n)

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genügen und außerdem so beschaffen sind, daß Icein Punkt von C mehrals in zwei Mengen des Systems (17) enthalten ist. (Letztere Bedingung

°) L m sind die das Spektrum bildenden eindimensionalen Komplexe; in denfolgenden Paragraphen dieses Abschnittes wird der Begriff der Zusammenhangszahlin einer von den Entwicklungen der unter la ) zitierten Arbeit unabhängigen Form dar-gestellt. ' n'Mathematische Annalen. 96. 34